Diviseur irréductible commun à une somme et un produit
Partie
Question
Soit \(P, A, B\), des polynômes de \(K[X]\), \(P\) désignant un polynôme irréductible.
Etablir l'équivalence logique :
\(P\) divise \(A\) et \(B\) si et seulement si \(P\) divise \(A+B\) et \(AB\).
Aide simple
Pour la réciproque utiliser d'abord l'hypothèse : \(P\) divise \(AB\).
Aide méthodologique
Distinguer le sens direct puis la réciproque.
Solution détaillée
1ère étape : Sens direct.
On part de l'hypothèse : \(P\) divise les deux polynômes \(A\) et \(B\), il est immédiat que \(P\) divise leur somme \(A+B\) et leur produit \(AB\).
2ième étape : Réciproque.
On part de l'hypothèse : \(P\) divise \(A+B\) et \(AB\).
D'après la proposition : Polynôme irréductible divisant un produit, \(P\) irréductible divisant le produit \(AB\) divise l'un des facteurs.
1er cas : Supposons que \(P\) divise \(A\), alors \(P\) divise \(A+B\) et \(A\),
donc aussi leur différence \((A+B)-A\), c'est à dire \(B\).
2ième cas : Si \(P\) divise \(B\), alors \(P\) divise \(A+B\) et \(B\),
donc aussi leur différence \((A+B)-B\), c'est à dire \(A\).
Dans les deux cas on aboutit à la conclusion : \(P\) divise \(A\) et \(B\).