Arithmétique dans K[X]

1ère étape : Recherche d'une condition nécessaire

Supposons donc que \(A\) divise \(B\), soit \(P\) un polynôme unitaire irréductible de \(K[X]\),

notons \(\alpha=\nu_p(A), \beta=\nu_p(B)\), alors \(A=P^\alpha A_1,B=P^\beta B_1\), \(P\) ne divisant ni \(A_1\) ni \(B_1\).

Le polynôme \(P^\alpha\) divise \(A\) qui divise \(B\), d'où \(P^\alpha\) divise \(B\), donc \(P^\alpha\) divise \(P^\beta B_1\). En appliquant le théorème : Lien entre la décomposition en éléments irréductibles et les notions de PGCD et PPCM, on obtient \(PGCD(P^\alpha ,B_1)=P^{min(\alpha,0)}=1\).

Ainsi \(P\alpha\) est premier avec \(\beta_1\) et divise le produit \(P^\beta B_1\), en appliquant le théorème de Gauss on en déduit que \(P^\alpha\) divise \(P^\beta\), d'où \(\alpha\leq \beta\).

Conclusion : Pour que \(A\) divise \(B\), il faut que

\(\forall P\) polynôme unitaire irréductible de \(K[X]\), \(\nu_p(A)\leq \nu_p(B)\).

2ième étape : Démonstration que la condition trouvée est suffisante

Supposons la condition précédente satisfaite.

Utilisons les décompositions de \(A\) et \(B\) en facteurs irréductibles \(A=\displaystyle{\prod^{i=n}_{i=1}}P_i^{\alpha_i}\), \(B=\displaystyle{\prod^{i=n}_{i=1}}P_i^{\beta_i}\)polynôme unitaire irréductible de \(K[X]\), diviseur de \(A\) ou de \(B\), \(\alpha_i,\beta_i\) entiers positifs ou nuls.

D'après l'hypothèse \(\nu_{P_i}(A)\leq \nu_{P_i}(B)\) donc \(\alpha_i\leq \beta_i\) et \(\beta_i-\alpha_i\geq 0\),

alors \(B=\left(\displaystyle{\prod^{i=n}_{i=1}}P_i^{\alpha_i}\right)\left(\displaystyle{\prod^{i=n}_{i=1}}P_i^{\alpha_i}\right)=AQ\).

D'où \(A\) divise \(B\).