Polynômes irréductibles dans R[X]
Le résultat de l'étude précédente permet d'obtenir la caractérisation des polynômes irréductibles sur \(R[X]\).
L'outil essentiel, pour ce faire, est l'inclusion évidente :
\(R[X]\subset C[X]\)
En préliminaire, on établit la propriété suivante, très utile dans la pratique.
Proposition : Racine complexe d'un polynôme à coefficients réels
Soit \(P\) un polynôme non constant à coefficients réels. On suppose que ce polynôme, considéré comme élément de \(C[X]\), admet une racine \(a\) complexe et non réelle.
Alors \(\bar{a}\) est aussi racine de \(P\), avec le même ordre de multiplicité.
Preuve :
Il est clair, comme les coefficients de \(P\) sont réels et compte tenu des propriétés de la conjugaison dans \(C\), que pour tout \(x\) complexe
\(\overline{P(x)}=P(\bar{x})\)
\(\forall k\in N\), \(\overline{P^{(k)}(x)}=P^{(k)}(\bar{x})\)
Alors la caractérisation des racines d'un polynôme et de leur ordre de multiplicité à l'aide des dérivées de ce polynôme (cliquez moi pour un rappel) prouve le résultat.
Rappel : Théorème : Caractérisation de l'ordre de multiplicité d'une racine, à l'aide des polynômes dérivées
Un élément \(a\) de \(K\) est racine d'ordre \(k\) d'un polynôme \(P(X)\) appartenant à \(K[X]\) si et seulement si
\(P(a)=P'(a)=\ldots=P^{(k-1)}(a)=0\) et \(P^{(k)}(a)\neq 0\).
Corollaire : 1 : Description des racines d'un élément de R[X]
Soit \(P\) un polynôme à coefficients réels. Ses racines, dans \(C\), sont
soit réelles
soit non réelles, conjuguées deux à deux, une racine et sa conjuguée ayant le même ordre de multiplicité.
On en déduit un résultat très pratique :
Corollaire : 2
Tout polynôme à coefficients réels de degré impair a au moins une racine réelle.
Ici, il est justifié par des propriétés purement algébriques. On peut aussi le démontrer avec des outils d'analyse en étudiant les variations de la fonction polynôme associée.
Cela conduit au théorème suivant :
Théorème : Factorisation en facteurs irréductibles dans R[X]
Soit \(P\) un polynôme non constant appartenant à \(R[X]\). Alors il existe des entiers strictement positifs \(r\) et \(s\), et pour tout \(k\) compris entre 1 et \(r\) et tout \(l\) compris entre 1 et \(s\), des réels \(x_k\), \(b_l\) et \(c_l\) et des entiers \(\alpha_k\) et \(\beta_l\) tels que :
\(P(X)=\lambda\displaystyle{\prod_{k=1}^{k=r}}(X-x_k)^{\alpha_k}\displaystyle{\prod_{l=1}^{l=s}}(X^2+b_lX+c_l)^{\beta_l}\)
où les polynômes \(X^2+b_lX+c_l\) sont sans racine réelle, autrement dit tels que
\(\forall l\), \(1\leq l\leq s\), \(b^2_l-4c_l<0\)
Une telle décomposition est unique.
Preuve :
D'après le résultat du corollaire, la décomposition en facteurs irréductibles de \(P\), considéré comme un élément de \(C[X]\), est de la forme
\(P(X)=\lambda\displaystyle{\prod_{k=1}^{k=r}}(X-x_k)^{\alpha_k}\displaystyle{\prod_{l=1}^{l=s}}(X-y_l)^{\beta_l}(X+\overline{y_l})^{\beta_l}\)
où les \(x_k\) sont des nombres réels et les \(y_l\) des nombres complexes non réels.
Or : \((X-y_l)(X-\overline{y_l})=X^2-(y_l+\overline{y_l})X+y_l\overline{y_l}\).
On a \(y_l+\overline{y_l}=2\textrm{Re}(y_l)\); on obtient donc un nombre réel. De même, on a \(y_l\overline{y_l}=|y_l|^2\) qui est aussi un nombre réel.
Donc le polynôme \((X-y_l)(X-\overline{y_l})\) s'écrit \(X^2+b_lX+c_l\) avec \(b_l\) et \(c_l\) réels. De plus ce polynôme n'a pas de racines réelles ce que l'on peut caractériser en disant que son discriminant \(b_l^2-4c_l\) est négatif.
Ce polynôme est donc un polynôme irréductible dans \(R[X]\) (sinon il serait divisible par un polynôme de degré 1 ce qui équivaudrait à l'existence d'une racine réelle).
On obtient donc une décomposition de \(P\) en un produit de polynômes à coefficient réels, irréductibles dans \(R[X]\):
\(P(X)=\lambda\displaystyle{\prod_{k=1}^{k=r}}(X-x_k)^{\alpha_k}\displaystyle{\prod_{l=1}^{l=s}}(X^2+b_lX+c_l)^{\beta_l}\)
A cause de l'unicité d'une telle décomposition, c'est la décomposition en facteurs irréductibles dans \(R[X]\) de \(P\).
Remarque :
On a l'égalité : \(r+2s=\deg(P)\).
Exemple :
Soit le polynôme \(P(X)=X^6+X^5+3X^4+2X^3+3X^2+X+1\) et cherchons sa décomposition en facteurs irréductibles dans \(R[X]\). Si on le considère comme un polynôme à coefficients complexes, il vient que \(i\) est racine de \(P\) d'ordre de multiplicité égal à 2. En effet,
\(P(i)=0\)
\(P'(X)=6X^5+5X^4+12X^3+6X^2+6X+1\), d'où \(P'(i)=0\)
\(P''(X)=30X^4+20X^3+36X^2+12X+6\), d'où \(P''(i)=-8i\neq 0\)
Donc \(\bar{i}=-i\) est aussi racine d'ordre 2 de \(P(X)\) dans \(C\). Donc \(P(X)\) est divisible
dans \(R[X]\) par \([(X-i)(X+i)]^2=(X^2+1)^2\). Il existe donc \((a,b,c)\) dans \(R^3\) tel que :
\(P(X)=(X^2+1)^2(aX^2+bX+c)\) (considération de degré).
On calcule \(a,b,c\), soit soit par la méthode des coefficients indéterminés, soit par division euclidienne de \(P(X)\) par \((X^2+1)^2\), et l'on obtient :
\(P(X)=(X^2+1)^2(X^2+X+1)\)
Le polynôme \((X^2+X+1)\) est irréductible dans \(R[X]\) (son discriminant est \(1-4\), donc strictement négatif), donc \(P(X)=(X^2+1)^2(X^2+X+1)\) est la décomposition de \(P(X)\) en facteurs irréductibles dans \(R[X]\).
Remarque :
La décomposition en facteurs irréductibles de \(P(X)\) dans \(C[X]\) est
\(P(X)=(X-i)^2(X+i)^2(X-j)(X-j^2)\).
Ce théorème permet d'obtenir une description complète des polynômes irréductibles
dans \(R[X]\):
Théorème : Caractérisation des polynômes irréductibles dans R[X]
Les polynômes irréductibles de \(R[X]\) sont les polynômes du premier degré et les polynômes de deuxième degré sans racine réelle, autrement dit de la forme
\(aX^2+bX+c\), avec \(a,b,c\) réels tels que \(b^2-4ac<0\).
Remarque :
Attention ! Une conséquence immédiate de ce résultat est qu'un polynôme à coefficients réels qui n'a pas de racine n'est pas forcément irréductible.
L'exemple suivant en est une illustration.
Exemple :
Soit \(P(X)=X^4+1\).
Ce polynôme n'a pas de racines réelles : en effet s'il en avait une, soit a, ce réel vérifierait l'égalité \(a^4=-1\), ce qui est absurde dans \(R\).
Mais ce polynôme n'est pas irréductible puisqu'il n'est pas de l'un des deux types précédents.
Donc on sait d'avance que ce polynôme est le produit de deux polynômes de degré égal à 2, sans racines réelles.
Pour trouver sa factorisation en facteurs irréductibles, on a (au moins) trois méthodes possibles :
On peut utiliser la remarque qui vient d'être faite, l'écrire sous la forme du produit de deux polynômes de degré égal à 2 avec des coefficients indéterminés, développer et identifier les coefficients. Cela aboutit à un système linéaire qu'il faut résoudre. Cette méthode est efficace, mais lourde du point de vue des calculs.
On pourrait aussi chercher sa décomposition dans \(C[X]\), puis regrouper les termes correspondant à des racines conjuguées (en suivant le principe de la démonstration théorique).
On peut aussi procéder de la manière suivante : on considère que c'est le début du développement du carré de la somme \(X^2+1\), le double produit manquant.
Alors : \(X^4+1=(X^2+1)^2-2X^2\), soit \(X^4+1=(X^2+1-\sqrt{2}X)(X^2+1+\sqrt{2}X)\).
C'est la décomposition cherchée.
Remarque :
La décomposition en facteurs irréductibles est unique, donc tous les moyens mathématiquement corrects sont bons pour la déterminer.