Polynômes irréductibles dans C[X]
On suppose connues les propriétés générales des polynômes irréductibles de \(K[X]\) où \(K\) est un corps quelconque. Il n'y a pas, dans le cas général, de caractérisation des polynômes irréductibles. L'objet des deux paragraphes qui suivent est d'étudier ce problème dans les cas particuliers de \(R[X]\) et de \(C[X]\).
Le théorème suivant résulte immédiatement du théorème de d'Alembert :
Théorème : Caractérisation des polynômes irréductibles dans C[X]
Les polynômes irréductibles de \(C[X]\) sont les polynômes du premier degré.
En effet, soit \(P\) un polynôme à coefficients complexes de degré supérieur ou égal à 2. Il est donc non constant et, d'après le théorème de d'Alembert, il admet au moins une racine complexe \(a\). D'après la caractérisation des racines, cela signifie qu'il est divisible par le polynôme \(X-a\). Il n'est donc pas irréductible.
En intégrant ce résultat dans le théorème général de factorisation des polynômes en produit de polynômes irréductibles, on obtient :
Théorème : Factorisation en éléments irréductibles dans C[X]
Tout polynôme non constant de \(C[X]\) s'écrit d'une manière unique sous la forme
\(\lambda\displaystyle{\prod_{i=1}^{i=n}}(X-a_i)^{a_i}\) où \(\lambda\) est une constante non nulle, les \(a_i\) sont des nombres complexes distincts deux à deux et les \(\alpha_i\) des entiers positifs.
Exemple : \(X^3-1=(X-1)(X-j)(X-j^2)\) avec \(j=\exp(i2\pi / 3)\).