Formule d'interpolation de Lagrange
Pour terminer cette ressource, nous allons donner la formule d'interpolation de Lagrange qui permet de caractériser un polynôme par la valeur de la fonction polynôme qui lui est associée en un certain nombre de points. (très utile en mathématiques appliquées pour les calculs et les approximations).
On suppose que le corps \(K\) est égal à \(R\) ou \(C\).
Théorème : Formule d'interpolation de Lagrange
Étant donnés \(n\) points \((\alpha_k,\beta_k)\in K\times K\), \((1\leq k\leq n)\) les \(\alpha_k\) étant tous distincts et les \(\beta_k\) non tous nuls, il existe un seul polynôme \(P(X)\in K[X]\), de degré strictement inférieur à \(n\), tel que :
\(\forall k, 1\leq k\leq n, \qquad P(\alpha_k)=\beta_k\)
Preuve :
Elle se décompose en deux parties : l'unicité et l'existence.
Unicité : S'il existait deux polynômes \(P_1\) et \(P_2\) satisfaisant au problème donné,
avec \(P_1\neq P_2\), le polynôme non nul \(P_1-P_2\), serait de degré strictement inférieur à \(n\) et aurait au moins \(n\) racines, les \(\alpha_k\), ce qui serait absurde.
Existence : On vérifie que le polynôme
\(P(X)=\displaystyle{\sum_{k=1}^{k=n}\beta_k}\left[\frac{\displaystyle{\prod_{i=1, i\neq k}^{i=n}(X-\alpha_i)}}{\displaystyle{\prod_{i=1, i\neq k}^{i=n}(\alpha_k-\alpha_i)}}\right]\)
est solution du problème posé.
Exemple :
Si l'on considère le cas \(K=R\) et \(n=2\), on retrouve le résultat (bien connu) que par deux points distincts il passe une et une seule droite.
Remarque :
Si tous les \(\beta_k\) sont nuls, le seul polynôme tel que pour tout \(k\), \(1\leq k\leq n\), \(P(\alpha_k)=0\) est le polynôme nul (cf. la démonstration de l'unicité).