Fonctions polynômes

Tout polynôme non constant de \(C[X]\) admet au moins une racine dans \(C\).

On admet connue la notion de fonction d'une variable complexe et les propriétés suivantes.

• Une telle fonction est dite holomorphe si elle est dérivable.

• Si une fonction holomorphe dans C est bornée, alors elle est constante.

Soit un polynôme \(P\in C[X]\), non constant, n'ayant pas de racines dans \(C\). La fonction \(z\mapsto P(z)\) est holomorphe dans \(C\) et ne s'annule jamais.

Alors la fonction \(z\mapsto \frac{1}{P(z)}\) est définie et holomorphe dans \(C\). On montre qu'elle est bornée : en effet si \(P(z)=a_nz^n+\ldots+a_0\) on a :

si \(z\neq 0\), \(P(z)=z^n(a_n+\frac{a_{n-1}}{z}+\ldots+\frac{a_0}{z^n})\).

Par conséquent, lorsque \(|z|\) tend vers \(+\infty\), \(|P(z)|\) tend vers \(+\infty\) et donc \(\left|\frac{1}{P(z)}\right|\) tend vers 0. Donc la fonction \(z\mapsto \frac{1}{P(z)}\) est constante et il en est de même pour la fonction \(z\mapsto P(z)\), ce qui est contraire à l'hypothèse faite.

Théorème : Relations entre coefficients et racines

Soit \(P(X)=a_0+a_1X+\ldots+a_nX^n\) un élément de \(K[X]\), avec \(a_n\) non nul.

On suppose \(P\) scindé dans \(K\), donc \(P\) peut être écrit sous la forme :

\(P(X)=a_n(X-\lambda_1)(X-\lambda_2)\ldots(X-\lambda_n)\) (en écrivant \(r\) fois chaque racine multiple d'ordre \(r\)).

Alors pour tout \(p\), \(1\leq p\leq n\),

\(\sigma_p=\displaystyle{\sum_{1\leq i_1<i_2<\ldots<i_p\leq n}}\lambda_{i_1}\lambda_{i_2}\ldots\lambda_{i_p}=(-1)^p\frac{a_{n-p}}{a_n}\)

En particulier :

\(\sigma_1=\displaystyle{\sum_{i=1}^{i=n}}\lambda_i=-\frac{a_{n-1}}{a_n},~\sigma_2=\displaystyle{\sum_{1\leq i<j\leq n}}\lambda_i\lambda_j=\frac{a_{n-2}}{a_n},~\sigma_n=\displaystyle{\prod_{i=1}^{i=n}}\lambda_i=(-1)^n\frac{a_{0}}{a_n}\)

Une fonction polynômiale symétrique s'exprime à l'aide des fonctions symétriques élémentaires. Ce résultat est admis.

Soit \(f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\) une expression polynômiale par rapport aux \(n\) variables \(x_1,x_2,\ldots,x_n\).

On dit que c'est une fonction symétrique si pour toute permutation \(s\) de l'ensemble \(\{1,2,\ldots,n\}\) (\(s\) est donc une bijection de \(\{1,2,\ldots,n\}\) dans lui-même) l'égalité suivante est satisfaite :

\(f(x_{s(1)},x_{s(2)},\ldots,x_{s(n)})=f(X_1,X_2,\ldots,x_n)\)

Étapes de la démonstration :

Le résultat à démontrer est le suivant : tout polynôme non constant, à coefficients complexes admet une racine dans \(C\).

• Étape 1 : On se ramène à démontrer la propriété dans le cas d'un polynôme à coefficients réels. Cela donnera le résultat car si \(P\) est un polynôme à coefficients complexes, le polynôme \(F=P\bar{P}\) (\(\bar{P}\) est le polynôme dont les coefficients sont les complexes conjugués des coefficients correspondants de \(P\)) est à coefficients réels.

  Alors, si \(F\) a une racine complexe, ou bien \(P(a)=0\), ou bien \(\bar{P}(a)=0\) ce qui équivaut à \(P(\bar{a})=0\). Dans les deux cas, on a trouvé une racine complexe pour le polynôme \(P\).

• Étape 2 : On peut faire la remarque générale suivante : Si \(S\) est un polynôme à coefficients dans un corps quelconque, de degré supérieur ou égal à 1, son degré peut être mis sous la forme \(2^mq\) où \(m\) est un entier positif ou nul, et \(q\) un entier impair. En effet, si \(S\) est de degré impair, \(m\) est nul, et si \(S\) est de degré pair, \(2^m\) est la plus grande puissance de 2 qui divise ce degré.

  On peut remarquer que le polynôme \(F=P\bar{P}\) introduit dans l'étape 1. est de degré pair et donc que son degré est de la forme \(2^mq\), avec \(m\) supérieur ou égal à 1.

• Étape 3 : On montre par récurrence sur \(m\) que tout polynôme à coefficients réels dont le degré, supérieur ou égal à 1, est de la forme \(2^mq\), avec \(q\) entier impair, admet une racine complexe.

  • Le cas \(m=0\) est simple à démontrer. C'est la propriété 1.

  • On suppose la propriété vraie pour \(m - 1\) avec \(m\) entier supérieur ou égal à 1.

  • Soit \(m\) un entier, \(m\geq 1\). Soit \(S\) un polynôme de degré \(d=2^mq\).

  On peut supposer \(S\) unitaire, cela ne réduit en rien la généralité de ce qui suit.

  D'après le théorème admis au 3, il existe un corps \(K'\) dans lequel le polynôme \(S\) est scindé c'est-à-dire se décompose en facteurs du premier degré. Il existe donc des éléments \(x_1,x_2,\ldots,x_d\) de \(K'\) tels que : \(S(X)=\displaystyle{\prod_{i=1}^{i=d}}(X-x_i)\).

  Soit \(c\) un élément arbitraire de \(R\). On considère les éléments \(y_{ij}=x_i+x_j+cx_ix_j\)

  de \(K'\) pour \(1\leq i\leq j\leq d\). Ces expressions sont symétriques par rapport à \(x_i,x_j\). Leur nombre est \(\frac12d(d+1)=2^{m-1}q(d+1)\) (autant que de couple \((i,j)\) avec \(i\leq j\)). Comme \(d\) est pair, \(q(d+1)\) est impair.

  Alors le polynôme \(G_c(X)=\displaystyle{\prod_{l\leq i\leq j\leq d}}(X-y_{ij})\) est de degré \(2^{m-1}d'\), avec \(d'\) impair. Pour pouvoir appliquer l'hypothèse de récurrence à \(G_c\), il ne reste plus qu'à s'assurer que \(G_c\) est un polynôme à coefficients réels. Comme \(c\) est un réel et comme les expressions \(y_{ij}\) sont symétriques par rapport à \(x_i,x_j\), \(G_c\) a pour coefficients des polynômes symétriques à coefficients réels en les \(x_i\). Ces coefficients sont donc, d'après le résultat 5 des fonctions polynomiales à coefficients réels des fonctions symétriques élémentaires des \(x_i\). Or ces dernières sont, d'après le résultat 4, égales aux coefficients du polynôme \(S\) ou à leur opposé, donc sont des réels.

  L'hypothèse de récurrence permet alors de dire que \(G_c\) admet une racine appartenant à \(C\). On la note \(z_c\). C'est l'un des \(y_{ij}\), ce qui signifie qu'il existe \((i(c),j(c))\)

  tel que : \(z_c=y_{i(c),j(c)}=x_{i(c)}+x_{j(c)}+cx_{i(c)}x_{j(c)}\) avec \(1\leq i(c)\leq j(c)\leq d\).

• L'idée intuitive qui permet d'achever la démonstration est la suivante : si l'on a un nombre fini de boîtes et une infinité d'objets à mettre dedans, il y a au moins une boîte qui contient deux objets.

  Dans la situation présente, les couples \((i,j)\) appartiennent à l'ensemble \(\{(i,j)\in N^2 / 1\leq i\leq j\leq d\}\)

  qui est fini et \(c\) décrit \(R\) qui est infini, donc il existe deux réels distincts \(c\) et \(c'\) tels que \((i(c),j(c))=(i(c'),j(c'))\).

  Si l'on note, pour simplifier l'écriture, \(r\) et \(s\) ces indices, on en déduit donc

  que \(z_c=x_r+x_s+cx_rx_s\) et \(z_{c'}=x_r+x_s+c'x_rx_s\) sont des éléments de \(C\).

• Conclusion :

  En faisant des combinaisons linéaires, on en déduit que \(A=x_r+x_s\) et \(B=x_rx_s\) sont des nombres complexes.

  Alors, d'après la propriété 4, \(x_r\) et \(x_s\) sont racines du polynôme \(X^2-AX+B\) qui est à coefficients complexes. Donc, d'après la propriété 2, \(x_r\) et \(x_s\) sont des nombres complexes. Ceci achève la démonstration.