Ordre de multiplicité d'une racine
Ce théorème permet de donner une caractérisation, très intéressante dans la pratique, de l'ordre de multiplicité d'une racine.
Rappel : Ordre de multiplicité d'une racine
Définition de l'ordre de multiplicité d'une racine
Soit \(a\) une racine dans \(K\) de \(P\), où \(P\) est un polynôme non nul de \(K[X]\).
Le plus grand entier \(n\) tel que \(P\) soit divisible par \((X-a)^n\) est appelé l'ordre de multiplicité de la racine \(a\) dans \(P\).
Caractérisation
Un entier \(n\) est l'ordre de multiplicité de la racine \(a\) d'un polynôme \(P\) si et seulement si il existe un polynôme \(Q\) appartenant à \(K[X]\), vérifiant les propriétés suivantes :
\(P(X)=(X-a)^nQ(X)\) et \(\tilde{Q}(a)\neq 0\)
On va donner une caractérisation de l'ordre de multiplicité d'une racine, à l'aide des polynômes dérivés.
Théorème : Caractérisation de l'ordre de multiplicité d'une racine, à l'aide des polynômes dérivés
Un élément \(a\) de \(K\) est racine d'ordre \(k\) d'un polynôme \(P(X)\) appartenant à \(K[X]\)
(\(K=R\) ou \(K=C\)), si et seulement si :
\(P(a)=P'(a)=\ldots=P^{(k-1)}(a)=0\)
et \(P^{(k)}(a)\neq 0\)
La démonstration est basée sur la formule suivante déduite de la formule de Taylor pour les polynômes :
\(P(X)=P(a)+\frac11 P'(a)(X-a)+\ldots+\frac{1}{k!}P^{(k)}(a)(X-a)^k+\ldots+\frac{1}{n!}P^{(n)}(a)(X-a)^n\)
où \(n\) est le degré de \(P\) (on rappelle que, si \(S\) est un polynôme non nul de degré \(r\), les polynômes dérivés de \(S\) d'ordre supérieur à \(r\) sont nuls).
Exemple :
Soit \(P(X)=X^6+X^5+3X^4+2X^3+3X^2+X+1\) un élément de \(C[X]\).
On peut montrer que \(i\) est racine de \(P\) et déterminer son ordre de multiplicité.
En effet, on obtient les résultats suivants : \(P(i)=0\)
\(P'(X)=6X^5+5X^4+12X^3+6X^2+6X+1\) d'où \(P'(i)=0\)
\(P''(X)=30X^4+20X^3+34X^2+12X+6\) d'où \(P''(i)=-8i\neq 0\)
Donc \(i\) est racine d'ordre 2 du polynôme \(P\).