Fonctions polynômes

1. (10 pts) On cherche les nombres complexes z satisfaisant à $z^4+16=0$, on constate que 0 n'est pas racine de $P$ donc on peut utiliser la forme trigonométrique $z=r\,(cos \,\theta + isin \,\theta ), ~r \in \mathbb{R^{*+}}, ~\theta \in \mathbb{R}.$ Alors, compte-tenu de la formule de Moivre $(cos \,\theta + isin \,\theta )^4 = (cos \,4\theta + isin \,4\theta )~,$

$z^4+16=0 \Leftrightarrow r^4(cos \,4\theta + isin \,4\theta )=16(cos \pi +isin \pi) \\\\ \Leftrightarrow \left \{\begin{array}{lcl} r^4=16 \\ 4\theta =\pi +2k\pi,~ k \in \mathbb{Z} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{lcl} r=2 \\ \theta =\frac{\pi}{4} +\frac {k\pi}{2} , ~k \in \mathbb{Z} \end{array} \right .$

Tous les nombres obtenus ont pour module 2, ils seront distincts si la différence de leurs arguments n'est pas un multiple entier de $2\pi$.

On trouve donc 4 racines complexes de $P$, appelées racines 4-ièmes de -16.

$\alpha_0=2 \left [cos\left(\frac{ \pi}{4} \right)+i \,sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \right ],~ \alpha_1=2 \left [cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)+i\, sin\left (\frac{3\pi}{4}\right) \right ] \\\\ \alpha_2=2 \left [cos\left (\frac{5\pi}{4}\right)+i \,sin\left (\frac{5\pi}{4}\right) \right],~ \alpha_3=2 \left [cos\left (\frac{7\pi}{4}\right)+i\, sin\left (\frac{7\pi}{4}\right)\right ]$

D'où les racines complexes de P : $\sqrt {2} +i\sqrt{2} ~,~ -\sqrt {2} +i\sqrt{2} ~,~ -\sqrt {2} -i\sqrt{2} ~,~ \sqrt {2} -i\sqrt{2}$

Les images des 4 racines 4-ièmes de -16 sont les sommets d'un carré $ABCD$, sommets situés sur le cercle de centre $O$ et de rayon 2.

Voici leurs représentations dans le plan complexe :

2. Décomposition dans $\mathbb{C}[X]$ (3 pts)

Il est évident que $P(X)=(X-\alpha_0)(X-\alpha_1)(X-\alpha_2)(X-\alpha_3).$

D'où $P(X)=(X-\sqrt {2} - i\sqrt{2})\,(X+\sqrt {2} - i\sqrt{2})\,(X+\sqrt {2} +i\sqrt{2})\,(X-\sqrt {2} +i\sqrt{2})$

Décomposition dans $\mathbb{R}[X]$ (7 pts)

Le polynôme $P$ n'a aucune racine réelle.

On vérifie que les racines complexes sont 2 à 2 conjuguées $\alpha_2=\overline{\alpha_1} ~et ~\alpha_3=\overline{\alpha_0}$.

D'où les 2 facteurs irréductibles de $P$ dans $\mathbb{R}[X]$ :

$(X-\alpha_0)(X-\alpha_3)=X^2 - (\alpha_0 + \alpha_3 )X +\alpha_0 \alpha_3 = X^2- 2\sqrt{2}X+4 \\ (X-\alpha_1)(X-\alpha_2)=X^2 - (\alpha_1 + \alpha_2 )X +\alpha_1 \alpha_2 = X^2+2\sqrt{2}X+4$

Enfin $P(X)=(X^2-2\sqrt{2}X+4)\,(X^2+2\sqrt{2}X+4)$

Remarque : Si le but de l'exercice avait été uniquement de trouver la décomposition de $P$ dans $\mathbb{R}[X]$ , on aurait utilisé une autre démarche.

Par exemple $P(X)=(X^2+4)^2-8X^2=(X^2+4-2\sqrt{2}X)\,(X^2+4+2\sqrt{2}X)$