Notion de matrice diagonalisable, de valeur propre d'une matrice, de vecteur propre d'une matrice
On a les définitions suivantes :
Définition : Définitions et propriétés immédiates
Soit \(M\) une matrice carrée d'ordre \(n\) à coefficients dans \(\mathbf K\) où \(\mathbf K\) est égal à \(\mathbb R\) ou \(\mathbb C\).
On dit que \(M\) est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale c'est-à-dire s'il existe deux matrices \(D\) et \(P\) de \(M_n(\mathbf K)\) telles que \(D\) soit diagonale, \(P\) inversible et \(M=PDP^{-1}\).
Une matrice colonne \(V\) appartenant à \(M_{n,1}(\mathbf K)\) est un vecteur propre de \(M\) si :
\(V\neq0\) et \(\exists\lambda\in\mathbf K\), \(MV=\lambda V\).
Un élément de \(\mathbf K\) est une valeur propre de \(M\) si il existe \(V\), non nul, appartenant à \(M_{n,1}(\mathbf K)\) tel que \(MV=\lambda V\).
Un élément de \(\mathbf K\) est une valeur propre de \(M\) si et seulement si det\((M-\lambda I_n)=0\).
On appelle polynôme caractéristique de \(M\) le polynôme det\((M-XI_n)\). On le note \(P_{\textrm{car},M}(X)\).
Un élément \(\lambda\) de \(\mathbf K\) est une valeur propre de \(M\) si et seulement c'est une racine du polynôme caractéristique de \(M\).
Le sous-espace propre associé à la valeur propre est égal à l'ensemble des \(V\) appartenant à \(M_{n,1}(\mathbf K)\) tels que \((M-\lambda I_n)V=0\) autrement dit l'ensemble des matrices colonnes \(V=\left(\begin{array}{cccccc}v_1\\\vdots\\v_n\end{array}\right)\) telles que \((M-\lambda I_n)\left(\begin{array}{cccccc}v_1\\\vdots\\v_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}0\\\vdots\\0\end{array}\right)\).
Exemple : Polynôme caractéristique d'une matrice carrée d'ordre 2
Soit \(M=\left(\begin{array}{cccccc}a&b\\c&d\end{array}\right)\) une matrice carrée d'ordre \(2\) à coefficients réels ou complexes.
Alors \(P_{\textrm{car},M}(X)=\left|\begin{array}{cc}a-X&b\\c&d-X\end{array}\right|=(a-X)(d-X)-bc\),
soit \(P_{\textrm{car},M}(X)=X^2-(a+d)X+ad-bc\)
En remarquant que \(a+d\) est la trace de la matrice \(M\) et \(ad-bc\) son déterminant, cette formule peut être écrite :
\(P_{\textrm{car},M}(X)=X^2-(\textrm{tr}M)X+ \)det\(M\)
En fait ce résultat se généralise au cas d'une matrice carrée d'ordre \(n\). On a la propriété suivante :
Propriété : Quelques coefficients particuliers du polynôme caractéristique
Soit \(A=(a_{i,j})\) un élément de \(M_n(\mathbf K)\), alors :
\(P_{\textrm{car},A}(X)=(-1)^n[X^n-\textrm{tr}(A)X^{n-1}+\cdots+(-1)^n\textrm{det}A]\)
Preuve :
Le terme constant de \(P_{\textrm{car},A}(X)\) est \(P_{\textrm{car},A}(0)\), soit det\(A\).
On a det\((A-XI_n)=\left|\begin{array}{cccc}a_{1,1}-X&a_{1,2}&\ldots&a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}-X&&\vdots\\\vdots&&\ddots&\vdots\\a_{n,1}&\ldots&\ldots&a_{n,n}-X\end{array}\right|\)
Seul le terme \(\displaystyle{\prod_{i=1}^{i=n}(a_{i,i}-X)}\) du développement fournit des termes en \(X^{n-1}\). En développant ce produit, on obtient un terme en \(X^{n-1}\) en "gardant \(X\)" dans \(n-1\) facteurs et la constante dans le n-ième, le coefficient de \(X^{n-1}\) est donc
\(\displaystyle{(-1)^{n-1}\sum_{i=1}^{n}a_{i,i}=(-1)^{n-1}\textrm{tr}(A)}\) .
La proposition suivante résulte immédiatement de la définition du polynôme caractéristique d'une matrice et des propriétés des déterminants.
Proposition : Polynôme caractéristique et matrices semblables
Soient \(M\) et \(N\) deux matrices semblables de \(M_n(\mathbf K)\).
Alors \(P_{\textrm{car},M}(X)=P_{\textrm{car},N}(X)\).
Preuve :
Soient \(M\) et \(N\) deux matrices semblables : il existe donc une matrice inversible \(Q\) de \(M_n(\mathbf K)\) telle que \(M=QNQ^{-1}\). Alors \(M-XI_n=Q(N-XI_n)Q^{-1}\).
Les matrices \(M-XI_n\) et \(N-XI_n\) sont donc semblables et par conséquent ont le même déterminant.
La propriété suivante, utile dans la pratique, résulte immédiatement des calculs de déterminants des matrices triangulaires
Proposition : Valeurs propres d'une matrice triangulaire
Soient \(M\) une matrice triangulaire de \(M_n(\mathbf K),n\ge 1\) .
Ses valeurs propres sont les éléments de la diagonale principale.
Exemple :
Soit \(M=\left(\begin{array}{cccccc}3&5&2\\0&3&3\\0&0&0\end{array}\right)\).
Les valeurs propres de \(M\) sont \(0\) et \(3\).