Méthode pour calculer la puissance d'une matrice ou d'un endomorphisme diagonalisable
Comme nous l'avons indiqué dans l'introduction, une des motivations du problème de la diagonalisation est le calcul des puissances de matrices ou d'endomorphismes.
En effet le calcul des puissances de matrices diagonales est simple comme le prouve la propriété suivante :
En effet le calcul des puissances de matrices diagonales est simple comme le prouve la propriété suivante :
Propriété : Puissance d'une matrice diagonale
Soit \(D\) une matrice diagonale à coefficients dans \(\mathbf K\),
\(D=\left(\begin{array}{cccc}\lambda_1&0&\cdots&0\\0&\lambda_2&\ddots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&0\\0&\cdots&0&\lambda_n\end{array}\right)\).
Alors pour tout entier strictement positif \(k\), on a
\(D=\left(\begin{array}{cccc}\lambda_1^k&0&\cdots&0\\0&\lambda_2^k&\ddots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&0\\0&\cdots&0&\lambda_n^k\end{array}\right)\).
La preuve est immédiate, en faisant une démonstration par récurrence sur \(k\).
On a le théorème :
Théorème : Puissance d'une matrice diagonalisable
Soit \(A\) une matrice appartenant à \(M_n(\mathbf K)\), diagonalisable. Alors \(A\) peut s'écrire \(A=PDP^{-1}\) et pour tout entier \(k\) positif, on a \(A^k=PD^kP^{-1}\).
Preuve :
On fait une démonstration par récurrence :
La propriété est vraie pour \(k=1\).
On la suppose vraie pour \(k\).
On la démontre pour \(k+1\).
On a \(A^{k+1}=A^k\times A=(PD^kP^{-1})\times(PDP^{-1})\), d'où en utilisant l'associativité du produit de matrices \(A^{k+1}=PD^k(P^{-1}P)DP^{-1}=PD^kDP^{-1}=PD^{k+1}P^{-1}\)
La propriété est donc héréditaire.
On a donc un procédé pour calculer les puissances d'un endomorphisme diagonalisable.
Il faut remarquer qu'ici le point de vue matriciel a été privilégié pour la démonstration car la formulation des calculs dans ce cadre est beaucoup plus simple.
Exemple :
Soit à calculer \(A^k\), avec \(k\) élément de \(\mathbb N^*\), et \(A\) est la matrice réelle \(A=\left(\begin{array}{cc}2&1\\1&2\end{array}\right)\).
Le polynôme caractéristique de \(A\) est égal à \((X-1)(X-3)\). Il est donc scindé dans \(\mathbb R\), la matrice \(A\) est donc diagonalisable. Tous calculs faits, on trouve \(A=P\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&3\end{array}\right)P^{-1}\) avec \(P=\left(\begin{array}{cc}1&1\\-1&1\end{array}\right)\) et donc \(\displaystyle{P^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1&-1\\1&1\end{array}\right)}\).
Alors \(\displaystyle{A^k=P\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&3^k\end{array}\right)P^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}3^k+1&3^k-1\\3^k-1&3^k+1\end{array}\right)}\).