Supplémentaire stable d'un sous-espace vectoriel stable

Partie

Question

Soient \(E\) un espace vectoriel sur \(\mathbb R\) ou \(\mathbb C\) de dimension finie \(n\), \(n\in\mathbb N^*\), et \(f\) un endomorphisme de \(E\).

On dit qu'un sous-espace vectoriel \(H\) de \(E\) est stable par \(f\) s'il vérifie la propriété : « l'image par \(f\) de tout élément de \(H\) appartient à \(H\) » (\(f(H)\subset H\)).

  1. Montrer qu'un sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs propres est stable par \(f\).

  2. On suppose que \(f\) est un endomorphisme de \(E\) diagonalisable. Montrer que tout sous-espace vectoriel de \(E\) stable par \(f\) admet un supplémentaire stable par \(f\).

Aide simple

2. Puisque \(f\) est diagonalisable, l'espace vectoriel \(E\) admet une base de vecteurs propres.

Aide méthodologique

2. Une manière simple d'obtenir un supplémentaire d'un sous-espace vectoriel \(F\) d'un espace vectoriel \(E\) de dimension finie, c'est de « compléter » une base de \(F\) par des vecteurs d'une base de \(E\), en utilisant le théorème de la base incomplète.

Aide à la lecture

2. Dans un espace vectoriel \(E\) de dimension finie, tout sous-espace vectoriel \(F\) admet un supplémentaire \(G\). Ici on veut de plus que ce supplémentaire soit stable par \(f\).

Solution détaillée

  1. Soit \(H\) un sous-espace vectoriel de \(E\) engendré par une famille de vecteurs propres. L'espace vectoriel \(E\) étant de dimension finie \(n\), \(H\) est aussi de dimension finie \(k\), \(k\le n\), donc de la famille de vecteurs propres qui engendrent \(H\), on peut extraire une base notée \((v_1,v_2,\ldots,v_k)\).

    Soit \(u\) un élément de \(H\), il existe des scalaires \(\alpha_i\), \(1\le i\le k\), tels que

    \(u=\alpha_1v_1+\alpha_2v_2+\ldots+\alpha_kv_k\).

    Cela entraîne \(f(u)=\alpha_1f(v_1)+\alpha_2f(v_2)+\ldots+\alpha_kf(v_k)\).

    En notant \(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_k\) les valeurs propres associées à \(v_1,v_2,\ldots,v_k\), on obtient \(f(u)=\alpha_1\lambda_1v_1+\alpha_2\lambda_2v_2+\ldots+\alpha_k\lambda_kv_k\), on remarque alors que \(f(u)\) est une combinaison linéaire de \(v_1,v_2,\ldots,v_k\) et donc appartient à \(H\).

    Donc \(H\) est stable par \(f\).

  2. Soit \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\), stable par \(f\).

    Puisque l'endomorphisme \(f\) de \(E\) est diagonalisable, il existe une base \(B\) de \(E\) formée de vecteurs propres de \(f\).

    D'après le théorème de la base incomplète, on peut « compléter » une base de \(F\) par des vecteurs de la base \(B\) pour obtenir une base de \(E\).

    On note \((e_1,e_2,\ldots,e_r)\) une base de \(F\) et \(v_{r+1},v_{r+2},\ldots,v_n\) les \(n-r\) vecteurs de la base \(B\) tels que \(B'=(e_1,e_2,\ldots,e_r,v_{r+1},v_{r+2},\ldots,v_n)\) soit une base de \(E\).

    Soit \(G\) le sous-espace vectoriel de \(E\) engendré par \((v_{r+1},v_{r+2},\ldots,v_n)\).

    Par construction de \(B'\) et de \(G\), \(G\) est un supplémentaire de \(F\), et d'après la question 1, \(G\) est stable par \(f\).