Base de vecteurs propres communs à un ensemble d'endomorphismes diagonalisables qui commutent
Partie
Question
Il est utile pour résoudre cet exercice de connaître le résultat de l'exercice 2 :
La restriction à un sous-espace vectoriel stable d'un endomorphisme diagonalisable est diagonalisable.
Soit \(\mathbf K\) le corps \(\mathbb R\) ou \(\mathbb C\).
Pour tout entier \(n\) (\(n\in\mathbb N^*\)), on considère la propriété \(P_n\) suivante :
\(P_n\) : « Dans un \(\mathbf K\)-espace vectoriel \(E\) de dimension finie \(n\) (\(n\in\mathbb N^*\)), il existe une base formée de vecteurs propres communs à un ensemble d'endomorphismes diagonalisables qui commutent entre eux. »
Montrer que la propriété \(P_1\) est vraie.
Soit \(n\) strictement supérieur à \(1\). On suppose que la propriété \(P_m\) est vraie pour tout entier \(m\), \(0<m<n\).
Soit \(E\) un \(\mathbf K\)-espace vectoriel de dimension \(n\), \(S\) un ensemble d'endomorphismes diagonalisables commutant deux à deux.
a. Montrer que si tous les éléments de \(S\) sont des homothéties, la propriété \(P_n\) est vérifiée.
b. On suppose qu'il existe un élément \(f\) de \(S\) qui n'est pas une homothétie. On note \(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_r\) les \(r\) valeurs propres de \(f\) et \(E_1,E_2,\cdots,E_r\) les sous-espaces propres associés.
Soit \(i\) un entier compris entre \(1\) et \(r\), montrer que le sous-espace vectoriel \(E_i\) est stable par tous les endomorphismes de \(S\) :
\(\forall g\in S, g(E_i)\subset E_i\)
En déduire que la propriété \(P_n\) est vraie.
Conclure.
Aide simple
Considérer les restrictions des éléments de \(S\) à chaque sous-espace propre de \(f\).
L'endomorphisme \(f\) est diagonalisable. Donc \(E\) est somme directe de ses sous-espaces propres.
Aide méthodologique
2.b. Puisque l'on suppose la véracité de \(P_m\) pour tout entier \(m\), \(0<m<n\), faire intervenir un sous-espace vectoriel de \(E\) de dimension plus petite et déterminer alors un ensemble ayant les mêmes hypothèses que \(S\).
Aide à la lecture
Les éléments de \(S\) sont des endomorphismes diagonalisables, et si \(f\) et \(g\) appartiennent à \(S\) alors \(f\bigcirc g=g\bigcirc f\).
On veut montrer qu'il existe dans \(E\) une base dont tous les vecteurs sont des vecteurs propres pour chaque élément de \(S\).
Solution détaillée
Soit \(E\) un \(\mathbf K\)-espace vectoriel de dimension \(1\), \(S\) un ensemble d'endomorphismes diagonalisables commutant deux à deux.
Tout vecteur \(u\) non nul de \(E\) forme une base de \(E\), et quelque soit l'endomorphisme \(f\) de \(E\), \(f(u)\) est colinéaire à \(u\), donc \(u\) est une base de vecteurs propres pour tout endomorphisme de \(E\), donc à fortiori pour tout élément de \(S\).
Donc la propriété \(P_1\) est vraie.
Soit \(E\) un \(\mathbf K\)-espace vectoriel de dimension \(n\), \(n>1\), \(S\) un ensemble d'endomorphismes diagonalisables commutant deux à deux.
2.a Soit \(f\) une homothétie de \(E\), c'est-à-dire : \(\exists\lambda\in\mathbf K,\forall x\in E,f(x)=\lambda x\); donc tout élément non nul de \(E\) est un vecteur propre de \(f\).
Soit \(B\) une base de \(E\), cette base est donc une base de vecteurs propres pour n'importe quelle homothétie de \(E\) et si tous les éléments de \(S\) sont des homothéties, la propriété \(P_n\) est vérifiée.
2.b Soit \(f\) un élément de \(S\), \(f\) n'étant pas une homothétie. Puisque \(f\) est diagonalisable, soient \(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_r\) les \(r\) valeurs propres de \(f\) et \(E_1,E_2,\cdots,E_r\) les sous-espaces propres associés (l'entier \(r\) est strictement supérieur à \(1\) puisque \(f\) n'est pas une homothétie).
Soient \(i\) un entier compris entre \(1\) et \(r\), et \(u\) appartenant à \(E_i\), donc \(f(u)=\lambda_iu\).
Soit \(g\) appartenant à \(S\), donc \(g\) commute avec \(f\). On montre que \(g(u)\) appartient à \(E_i\) :
En effet \(f(g(u))=g(f(u))\) car \(f\bigcirc g=g\bigcirc f\). Comme \(f(u)=\lambda_ig(u)\), il vient \(g(f(u))=g(\lambda_iu)=\lambda_ig(u)\). Donc \(f(g(u))=\lambda_ig(u)\), ce qui signifie que \(g(u)\) appartient à \(E_i\).
Donc tous les sous-espaces propres \(E_i\), \(1\le i\le r\), sont stables par tous les endomorphismes de \(S\).
Soit \(i\) fixé, \(1\le i\le r\), et soit \(g\) appartenant à \(S\). Le sous-espace propre \(E_i\) étant stable par \(g\), et \(g\) étant diagonalisable, la restriction de \(g\) à \(E_i\) est diagonalisable.
Donc les restrictions des éléments de \(S\) au sous-espace propre \(E_i\) forment un ensemble d'endomorphismes diagonalisables commutant deux à deux.
Or le sous-espace vectoriel \(E_i\) est de dimension strictement inférieur à \(n\) car \(E_i\) est contenu dans \(E\) et n'est pas égal à \(E\) puisque \(f\) n'est pas une homothétie.
Comme la propriété \(P_m\) est vraie pour tout entier \(m\), \(0<m<n\), dans le \(\mathbf K\)-espace vectoriel \(E_i\), il existe une base formée de vecteurs propres communs à toutes les restrictions des éléments de \(S\), mais les vecteurs propres des restrictions des éléments de \(S\) sont aussi des vecteurs propres de ces éléments.
Ceci est vrai dans chaque \(E_i\), \(1\le i\le r\). Or \(f\) est diagonalisable, donc \(E=E_1\oplus E_2\oplus\cdots\oplus E_r\), et la réunion des bases des \(E_i\) forme une base de \(E\).
On a donc construit dans \(E\) une base de vecteurs propres communs à tous les éléments de \(S\). La propriété \(P_n\) est donc vérifiée.
Les questions 1. et 2. constituent la démonstration par récurrence de la propriété \(P_n\). Donc on a démontré le résultat suivant :
Dans un \(\mathbf K\)-espace vectoriel \(E\) de dimension finie \(n\) (\(n\in\mathbb N^*\)), il existe une base formée de vecteurs propres communs à un ensemble d'endomorphismes diagonalisables commutant entre eux.