Polynôme caractéristique d'un produit de matrices
Partie
Question
Soit \(n\) un entier, \(n\ge2\), et \(A, B\) des matrices carrées d'ordre \(n\) à coefficients dans \(\mathbf K\), \(\mathbf K\) étant \(\mathbb R\) ou \(\mathbb C\). On note \(I_n\) la matrice unité d'ordre \(n\).
Montrer que lorsque la matrice \(A\) est inversible alors les matrices \(AB\) et \(BA\) sont semblables et ont le même polynôme caractéristique.
Dans la suite, la matrice \(A\) est une matrice carrée, d'ordre \(n\), qui n'est pas nécessairement inversible.
a. Soit \(t\) un nombre fixé appartenant à \(\mathbf K\), \(t\) n'étant pas une valeur propre de \(A\). Déduire de la question 1. que les matrices \((A-tI_n)B\) et \(B(A-tI_n)\) ont le même polynôme caractéristique.
b. Soient \(x\) un élément de \(\mathbf K\) fixé, \(f_x\) et \(g_x\) les applications de \(\mathbf K\) dans \(\mathbf K\) définies pour \(y\) appartenant à \(\mathbf K\) par :
\(f_x(y)=\textrm{det }\left((A-yI_n)B-xI_n\right)\) et \(g_x(y)=\textrm{det }\left(B(A-yI_n)-xI_n\right)\).
Montrer que les applications \(f_x\) et \(g_x\) sont des fonctions polynômes, et en déduire qu'elles sont égales.
c. En déduire que les matrices \(AB\) et \(BA\) ont le même polynôme caractéristique.
Aide simple
2.a. Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.
2.b. Remarquer l'égalité \(f_x(t)=\textrm{det }\left((A-tI_n)B-xI_n\right)=P_{\textrm{car},(A-tI_n)B}(x)\), et montrer que pour \(t\) non valeur propre de \(A\), on a l'égalité \(f_x(t)-g_x(t)=0\).
2.c. Remarquer l'égalité \(P_{\textrm{car},AB}(x)=f_x(0)\).
Aide méthodologique
2.a. Un élément de \(\mathbf K\) est valeur propre d'une matrice si et seulement si il est racine du polynôme caractéristique de cette matrice.
2.b. Un polynôme de \(\mathbf K[X]\) de degré \(p\) a au plus \(p\) racines, et la fonction polynôme associée ne peut s'annuler qu'en un nombre fini de points.
2.c. Deux polynômes de \(\mathbf K[X]\) sont égaux si et seulement si les fonctions polynômes associées sont égales sur \(\mathbf K\).
Aide à la lecture
Le but de cet exercice est de montrer que les deux produits de matrices \(AB\) et \(BA\) ont le même polynôme caractéristique.
Solution détaillée
Si \(A\) est inversible, on peut écrire \(BA=A^{-1}(AB)A\), donc les matrices \(AB\) et \(BA\) sont semblables.
Or deux matrices \(M\) et \(N\) semblables ont le même polynôme caractéristique.
Rappel de la démonstration :
Soient \(M\) et \(N\) deux matrices semblables : il existe une matrice \(P\) inversible telle que \(M=P^{-1}NP\), alors :
\(\begin{array}{ll}P_{\textrm{car},M}(X)&=\textrm{det }(M-XI_n)=\textrm{det }(P^{-1}NP-XI_n)\\&=\textrm{det }(P^{-1}(N-XI_n)P)=\textrm{det }(P^{-1})\textrm{det }(N-XI_n)\textrm{det }P\\&=\textrm{det }(N-XI_n)\\&=P_{\textrm{car},N}(X)\end{array}\)
Les matrices \(AB\) et \(BA\), étant semblables, ont donc le même polynôme caractéristique.
2.a Si le scalaire \(t\) n'est pas une valeur propre de \(A\), il n'est pas racine du polynôme caractéristique de \(A\), donc \(P_{\textrm{car},A}(t)\neq0\).
Comme \(P_{\textrm{car},A}(t)=\textrm{det }(A-tI_n)\), le déterminant de la matrice \(A-tI_n\) n'est pas nul, on en déduit que la matrice \(A-tI_n\) est inversible, et d'après la question 1., les matrices \((A-tI_n)B\) et \(B(A-tI_n)\) ont le même polynôme caractéristique.
2.b Lorsqu'on développe un déterminant, on obtient une somme dont les termes sont des produits des coefficients du déterminant.
Le nombre \(x\) étant fixé, les applications \(f_x\) et \(g_x\) sont définies par
\(f_x(y)=\textrm{det }((A-yI_n)B-xI_n)\) et \(g_x(y)=\textrm{det }(B(A-yI_n)-xI_n)\).
En développant ces déterminants on obtient des fonctions polynômes en \(y\).
On remarque que pour \(y\) égal à \(t\), scalaire qui n'est pas une valeur propre de \(A\), on a les égalités :
\(f_x(t)=\textrm{det }((A-tI_n)B-xI_n)=P_{\textrm{car},(A-tI_n)B}(x)\)
et \(g_x(t)=\textrm{det }(B(A-tI_n)-xI_n)=P_{\textrm{car},B(A-tI_n)}(x)\)
Or, d'après la question a., les matrices \((A-tI_n)B\) et \(B(A-tI_n)\) ont le même polynôme caractéristique.
Par suite, pour \(t\) non valeur propre de \(A\), on a l'égalité \(f_x(t)=g_x(t)\).
On considère le polynôme \(P\) de \(\mathbf K[X]\) associé à la fonction \(f_x-g_x\). On remarque que tout \(t\), non valeur propre de \(A\), est racine de \(P\), or la matrice \(A\) n'a qu'un nombre fini de valeurs propres donc, comme \(\mathbf K\) est infini, ce polynôme \(P\) a une infinité de racines, c'est donc le polynôme nul.
Par suite, les applications \(f_x\) et \(g_x\) sont des fonctions polynômes égales.
2.c Si on considère la matrice \(AB\) et son polynôme caractéristique,
\(P_{\textrm{car},AB}(X)=\textrm{det }(AB-XI_n)\), on remarque que, pour tout \(x\) élément de \(\mathbf K\), on a l'égalité : \(P_{\textrm{car},AB}(x)=f_x(0)\)
De même \(P_{\textrm{car},BA}(x)=g_x(0)\).
Or d'après la question b., les applications \(f_x\) et \(g_x\) sont égales, donc en particulier \(f_x(0)=g_x(0)\). On a montré ainsi la relation : \(\forall x\in\mathbf K, P_{\textrm{car},AB}(x)=P_{\textrm{car},BA}(x)\).
Mais, comme \(\mathbf K\) est infini, deux fonctions polynômes sont égales sur \(\mathbf K\) si et seulement si les polynômes associés sont égaux. Donc :
\(P_{\textrm{car},AB}(X)=P_{\textrm{car},BA}(X)\),
et les matrices \(AB\) et \(BA\) ont le même polynôme caractéristique.