Diagonalisation et géométrie

Soit élément \(\theta\) élément de l'intervalle \([0,2\pi[\) et \(\rho_\theta\) l'endomorphisme de \(\mathbb R^2\) dont la matrice dans la base canonique est de la forme \(\left(\begin{array}{cc}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{array}\right)\) . C'est une rotation vectorielle de \(\mathbb R^2\) (la base canonique de \(\mathbb R^2\) est orthonormée pour la structure euclidienne usuelle de \(\mathbb R^2\)).

• Rotation d'angle \(\theta\) dans \(\mathbb R^2\)

La question qui se pose, est celle de l'existence de sous-espaces vectoriels de \(\mathbb R^2\) stables par \(\rho_\theta\).

Supposons qu'il existe un sous-espace vectoriel de \(E\), stable par \(\rho_\theta\), différent de \(\{0\}\) et de \(\mathbb R^2\). Il est alors de dimension \(1\), c'est une droite vectorielle. Il existe donc un vecteur non nul \(v\) qui définit une base de cette droite. Comme elle est stable par \(\rho_\theta,\rho_\theta(v)\), appartient à cette droite et donc il existe un scalaire \(\lambda\) tel que \(\rho_\theta(v)=\lambda v\).

Cette égalité équivaut, en notant \(v=(x,y)\), à l'égalité matricielle :

\(\left(\begin{array}{cc}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\lambda x\\\lambda y\end{array}\right)\)

qui équivaut au système \(\left\{\begin{array}{cccccc}(\cos\theta)x&-&(\sin\theta)y&=&\lambda x\\(\sin\theta)x&+&(\cos\theta)y&=&\lambda y\end{array}\right.\textrm{ },\)

qui est équivalent à \(\left\{\begin{array}{cccccc}(\cos\theta-\lambda)x&-&(\sin\theta)y&=&0\\(\sin\theta)x&+&(\cos\theta-\lambda)y&=&0\end{array}\right.\textrm{ }.\)

Le déterminant de ce système est égal à \((\cos\theta-\lambda)^2+(\sin\theta)^2=\lambda^2-2(\cos\theta)\lambda+1\).

Cherchons s'il existe des valeurs de \(\lambda\) pour lesquelles \(\lambda^2-2(\cos\theta)\lambda+1=0\). Le discriminant de cette équation du second degré est égale à \(4(\cos^2\theta-1)=-4\sin^2\theta\).

Trois cas sont alors possibles :

• Premier cas : \(\theta=0\)

  Alors \(\rho_\theta\) est égale à \(Id_{\mathbb R^2}\).

• Deuxième cas : \(\theta=\pi\)

  Alors \(\rho_\theta\) est égale à \(-Id_{\mathbb R^2}\).

• Troisième cas : \(\theta\neq0\) et \(\theta\neq\pi\)

  L'équation \(\lambda^2-2(\cos\theta)\lambda+1=0\) a donc un discriminant strictement négatif et n'a donc pas de racine réelle.

  Le déterminant du système étant non nul, le système n'a donc qu'une seule solution, le couple \((0,0)\). On aboutit donc à une contradiction puisque le vecteur \(v\) est non nul.

Il en résulte que si l'on a une rotation différente de \(Id_{\mathbb R^2}\) et de \(-Id_{\mathbb R^2}\) , il n'existe pas de sous-espace stable autre que \(\{0\}\) et \(\mathbb R^2\).

Il est possible de traduire ce résultat dans le langage de la théorie de la réduction des matrices. En effet cela signifie qu'une rotation de \(\mathbb R^2\), différente de \(Id_{\mathbb R^2}\) et de \(-Id_{\mathbb R^2}\), n'a pas de valeur propre donc pas de vecteur propre et donc n'est pas diagonalisable.

Si l'on était parti directement de ce point de vue on aurait pu chercher le polynôme caractéristique de \(f\), soit

\(\displaystyle{P_{\textrm{car},\rho_\theta}(X)}=\left|\begin{array}{ccccc}\cos\theta-X&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta-X\end{array}\right|=X^2-2(\cos\theta)X+1\).

Cela nous donne une interprétation de l'équation étudiée : ce n'est rien d'autre que l'équation \(P_{\textrm{car},\rho_\theta}(\lambda)=0\).