Construction d'un morphisme de l'algèbre des polynômes dans l'algèbre des endomorphismes d'un espace vectoriel
Soit \(\mathbf K\) un corps (ici c'est le corps des réels ou celui des complexes) et \(E\) un espace vectoriel sur \(\mathbf K\).
On note \(\mathbf K[X]\) l'algèbre des polynômes à une indéterminée à coefficients dans \(\mathbf K\) et \(L_\mathbf K(E)\) l'algèbre des endomorphismes de \(E\) (ou applications linéaires de \(E\) dans lui-même).
Soit \(f\) une application linéaire de \(E\) dans lui-même.
On peut définir une application \(\Phi_f\) de \(\mathbf K[X]\) dans \(L_\mathbf K(E)\) de la façon suivante :
\(\begin{array}{cccccc}\mathbf K[X]&\to&L_\mathbf K(E)\\P(X)=a_0+a_1X+\cdots+a_kX^k&\mapsto&a_0Id_E+a_1f+\cdots+a_kf^k\end{array}\)
\(Id_E\) est l'application identique de \(E\) et si \(r\) est un entier positif ou nul, \(f^r\) est défini par récurrence de la manière suivante : \(\left\{\begin{array}{cccccc}f^0&=&Id_E&\textrm{ si } r=0\\f^r&=&f^{r-1}\bigcirc f&\textrm{ si } r\ge 1\end{array}\right.\)
On note \(P(f)\) l'endomorphisme \(a_0Id_E+a_1f+\cdots+a_kf^k\).
Donc \(\Phi_f(P)=P(f)\) et \(\Phi_f(P)\) est une application linéaire de \(E\) dans \(E\).
Exemple :
soit \(f\) une application linéaire de \(E\) dans lui-même. L'endomorphisme \(f^2+f-2Id_E\) est l'image par \(\Phi_f\) du polynôme \(X^2+X-2\).
Liens avec la structure
Compte tenu des propriétés connues des fonctions polynômes, \(\Phi_f\) a les propriétés suivantes :
Théorème : Propriétés de l'application qui à P associe P(f)
Soit \(\Phi_f :P\mapsto P(f)\)
Les propriétés suivantes sont vérifiées :
Pour tout élément de \((P,Q)\), de \((\mathbf K[X])^2\),
\(\Phi_f(P+Q)=\Phi_f(P)+\Phi_f(Q)\)
Pour tout élément \(P\) de \(\mathbf K[X]\) et tout \(\alpha\) de \(\mathbf K\), \(\Phi_f(\alpha P)=\alpha\Phi_f(P)\)
\(\Phi_f(PQ)=\Phi_f(P)\bigcirc\Phi_f(Q)\)
Si on note « \(1\) » le polynôme constant égal à \(1_\mathbf K,\textrm{ }\Phi_f(1)\) est l'application identique de \(E\)
Les propriétés 1., 3. et 4. caractérisent les homomorphismes d'anneau .
Les propriétés 1. et 2. caractérisent les applications linéaires .
On peut dire que \(\Phi_f\) est un homomorphisme d'algèbre.
Comme le produit dans \(\mathbf K[X]\) est commutatif, la propriété suivante est immédiate.
Propriété : Propriété de commutativité
Soit \(f\) une application linéaire de \(E\) dans lui-même. Pour tous polynômes \(P\) et \(Q\) de \(\mathbf K[X]\), on a \(P(f)\bigcirc Q(f)=Q(f)\bigcirc P(f)\).
Il faut bien voir l'intérêt de cette propriété : en effet la composition des applications et ici des endomorphismes n'est pas commutative. Par contre les endomorphismes de la forme \(P(f)\) où \(P\) est un polynôme, commutent entre eux.