Définition d'un polynôme annulateur d'un endomorphisme
Définition : Polynôme annulateur d'un endomorphisme
Soit \(f\) une application linéaire de \(E\) dans lui-même.
On appelle polynôme annulateur de \(f\) un polynôme non nul appartenant à \(\mathbf K[X]\) tel que \(P(f)=0\).
Autrement dit, si \(P(X)=a_0+a_1X+\cdots+a_kX^k\) est un polynôme annulateur de \(f\), il est non nul et \(a_0Id_E+a_1f+\cdots+a_kf^k=0\), ce qui équivaut à :
\(\forall x\in E,\quad a_0x+a_1f(x)+\cdots+a_kf^k(x)=0\)
Exemple :
Soit \(f\) un endomorphisme de \(E\) tel que \(f^2=Id_E\) (\(f\) est une symétrie). Alors le polynôme \(X^2-1\) est un polynôme annulateur de \(f\). Le polynôme \(X^3-X\) est aussi un polynôme annulateur de \(f\).
En effet, \(f^3-f=f\bigcirc f^2-f=f-f=0\), puisque \(f^2=Id_E\).
D'après cette définition, si \(f\) est une application linéaire de \(E\) dans lui-même, \(P\) est un polynôme annulateur de \(f\) si et seulement si \(P\) est non nul et \(\Phi_f(P)=0\), donc si et seulement si \(P\) est non nul et appartient au noyau de \(\Phi_f\).
L'étude de ce noyau permet donc de connaître la structure de l'ensemble des polynômes annulateurs d'un endomorphisme \(f\). Dans toute la suite ce noyau est noté \(\textrm{Ann }(f)\).
Avant d'énoncer et de démontrer le théorème qui donne ces propriétés, il peut être utile de revoir la notion d'idéal et la structure des idéaux de \(\mathbf K[X]\).
Rappel : notion d'idéal
La sous structure essentielle dans la théorie des anneaux est l'idéal.
Pour ceux qui ne connaissent pas cette notion, nous donnons la définition générale d'un idéal, sans aller plus avant dans la théorie générale. Cela est fait dans le but de faciliter l'exposé de ce cours.
Définition : Idéal dans un anneau commutatif
Soit \(A\) un anneau commutatif. On dit qu'une partie \(I\) de \(A\) est un idéal de \(A\) si \(I\) vérifie les propriétés suivantes :
\(I\) est non vide
\(I\) est stable pour la soustraction, c'est-à-dire :
\(\forall(x,y)\in I\times I,x-y\in I\)
Pour tout élément \(a\) de \(A\) et tout élément \(x\) de \(I\), le produit \(ax\) appartient à \(I\), autrement dit :
\(\forall a\in A,\forall x\in I,ax\in I\)
Remarque :
les propriétés 1. et 2. signifient que \(I\) est un sous-groupe additif de \(A\). Si besoin est, on peut répartir les difficultés, puisque l'ensemble des propriétés 1. et 2. équivaut à l'ensemble des propriétés :
\(I\neq\emptyset\)
\(\forall(x,y)\in I\times I,x+y\in I\)
\(\forall x\in I,-x\in I\)