Polynôme minimal

Soit \(E\) un espace vectoriel de type fini et \(f\) un endomorphisme de \(E\). L'ensemble \(\textrm{Ann}(f)\), noyau de \(\Phi_f\), vérifie les propriétés suivantes :

1. Ann\((f)\) est un idéal de \(\mathbf K[X]\), non réduit à \(0\).

2. Il existe un unique polynôme unitaire tel que tout polynôme annulateur de \(f\) soit un multiple de ce polynôme.

   Ce polynôme est appelé le polynôme minimal de \(f\) et est noté \(P_{\textrm{min},f}\).

   Ceci peut être écrit sous la forme :

   Ann\((f)=P_{\textrm{min},f}\mathbf K[X]=\{Q\in\mathbf K[X] ;\exists Q_1\in\mathbf K[X],Q=P_{\textrm{min},f}Q_1\}\)

On a déjà remarqué que \(\Phi_f\) est une application linéaire de \(\mathbf K[X]\) dans \(L_\mathbf K(E)\). Donc son noyau est un sous-espace vectoriel de \(\mathbf K[X]\), en particulier il est non vide et stable pour la soustraction.

De plus, si \(P\) est un élément de Ann\((f)\) et \(Q\) un élément quelconque de \(\mathbf K[X],\Phi_f(PQ)=\Phi_f(QP)=\Phi_f(P)\bigcirc\Phi_f(Q)=0\), car \(\Phi_f(P)=0\).

Donc \(PQ\) appartient à Ann\((f)\).

Donc Ann\((f)\) est un idéal de \(\mathbf K[X]\).

Soit \(N_f\) l'ensemble des degrés des polynômes non nuls éléments de Ann\((f)\), c'est-à-dire l'ensemble des entiers \(n\) tels qu'il existe \(P\in\) Ann\((f)\) , non nul, avec deg\((P)=n\). Comme l'idéal Ann\((f)\), n'est pas réduit à \(0,N_f\) est une partie non vide de \(\mathbb N\), donc possède un plus petit élément noté \(n_0\).

On a donc les deux propriétés :

\(\displaystyle{\begin{array}{ll}\forall P\in\textrm{Ann}(f),P\neq 0,\textrm{deg}P\geq n_0\\\exists P_0\in\textrm{Ann}(f),n_0=\textrm{deg}(P_0)\end{array}}\)

Soit \(P\) un élément quelconque de Ann\((f)\); en faisant la division euclidienne de \(P\) par \(P_0\) on obtient :

\(\exists!(Q,R)\in(\mathbf K)[X])^2,P=QP_0+R\) , avec \(R=0\) ou deg\((R)< n_0\)

Comme Ann\((f)\) est un idéal de \(\mathbf K[X],QP_0\) est un élément de Ann\((f)\), (\(P_0\in\) Ann\((f)\) et \(Q\in\mathbf K[X])\) et par conséquent le polynôme \(R=P-QP_0\) est aussi élément de \(\textrm{Ann}(f)\).

• \(R\neq0\), d'après la définition de \(n_0\), on a l'inégalité : deg\((R)\geq n_0\).

  On a donc une contradiction, puisque d'après la propriété de la division euclidienne on a deg\((R)< n_0\).

• L'hypothèse \(R\neq0\) est donc absurde et on a \(R=0\).

  Alors \(P=QP_0\). Ceci prouve l'inclusion \(P_0\mathbf K[X]\supset\) Ann\((f)\).

  L'autre inclusion est immédiate, car \(P_0\) appartient à Ann\((f)\).

Si \(P\) est tel que Ann\((f)=P\mathbf K[X]\), pour toute constante non nulle \(c\) appartenant à \(\mathbf K\), le polynôme \(cP=P_1\) engendre Ann\((f)\) (i.e. Ann\((f)=P_1\mathbf K[X])\).

Soit \(P_1\) un autre polynôme tel que Ann\((f)=P_1\mathbf K[X]\)). Alors \(P_1\mathbf K[X]=P_0\mathbf K[X]\).

Donc il existe \(\lambda\in\mathbf K\) tel que \(P_0=\lambda P_1\). Et il existe \(\beta\in\mathbf K\) tel que \(P_1=\beta P_0\).

Tous les polynômes \(P\) tels que Ann\((f)=P\mathbf K[X]\) s'obtiennent donc les uns à partir des autres par multiplication par une constante non nulle ; donc s'ils sont unitaires, ils sont égaux.

On en déduit immédiatement l'existence et l'unicité d'un polynôme unitaire engendrant Ann\((f)\).

Pour tout idéal \(I\) de \(\mathbf K[X]\), il existe un polynôme \(P\) tel que \(I\) soit égal à l'ensemble des multiples de \(P\). Ce qui peut s'écrire :

\(I=P\mathbf K[X]=\{Q\in\mathbf K[X] ;\exists Q_1\in\mathbf K[X],Q=PQ_1\}\)

On dit que \(I\) est engendré par \(P\). Si \(I\) n'est pas réduit au polynôme nul, \(P\) est non nul. Si, de plus, on impose à \(P\) d'être unitaire, il est unique.