Exemples
Exemple :
Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension \(2\) et \((e_1,e_2)\) une base de \(E\).
On considère l'endomorphisme \(f\) de \(E\) défini par \(f(e_1)=e_2, f(e_2)=0\).
Il est alors immédiat que \(f^2(e_1)=0,f^2(e_2)=0\) et par conséquent \(f^2=0\). Le polynôme \(X^2\) est donc un polynôme annulateur de \(f\) ; c'est donc un multiple du polynôme minimal de \(f\). Les diviseurs de \(X^2\) sont \(1, X\) et \(X^2\). L'espace considéré n'est pas \(\{0\}\), donc cela exclut \(1\), l'endomorphisme \(f\) n'est pas nul donc \(X\) n'est pas un polynôme annulateur de \(f\). Par conséquent il reste \(X^2\) et donc \(P_{\textrm{min},f}(X)=X^2\).
On considère l'endomorphisme \(g\) de \(E\) défini par \(g(e_1)=e_2, g(e_2)=-e_1\).
Il est alors immédiat que \(g^2(e_1)=-e_1, g^2(e_2)=-e_2\) et par conséquent \(g^2=-Id_E\), soit \(g^2+Id_E=0\).
Alors le polynôme \(X^2+1\) est un polynôme annulateur de \(g\). Comme il est irréductible sur \(\mathbb R\), il n'a pas de diviseur et c'est le polynôme minimal de \(g\) donc \(P_{\textrm{min},g}(X)=X^2+1\).
On considère l'endomorphisme \(h\) de \(E\) défini par \(h(e_1)=e_2, h(e_2)=e_1\).
Il est alors immédiat que \(h^2(e_1)=e_1, h^2(e_2)=e_2\) et par conséquent \(h^2=Id_E\), soit \(h^2-Id_E=0\).
Alors le polynôme \(X^2-1\) est un polynôme annulateur de \(h\), donc le polynôme minimal de \(h\) est un diviseur de \(X^2-1\). Cela peut donc être \(X-1,X+1\) ou \(X^2-1\). Or, ni \(X-1\) ni \(X+1\) ne sont des polynômes annulateurs de \(h\) puisque \(h(e_1)\) est différent de \(e_1\) et de \(-e_1\). Donc le polynôme minimal de \(h\) est \(X^2-1\).
Exemple :
Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à \(1, E\) l'espace vectoriel :
\(E=\{P\in\mathbf K[T],P=0\) ou deg \(P\leq n\}\)
Remarque : Remarque sur la notation
Si l'espace vectoriel considéré est l'espace vectoriel des polynômes à coefficients dans \(\mathbf K\), ou l'un de ses sous-espaces, les polynômes vont intervenir dans deux rôles différents : comme vecteurs et comme polynômes annulateurs. Pour éviter les confusions, l'indéterminée est notée \(T\) pour les polynômes lorsqu'ils sont considérés comme des vecteurs.
On sait que \(E\) est de dimension \(n+1\). Soit \(D\) l'endomorphisme de \(E\) défini par ,
\(D(P(T))=P'(T)\) polynôme dérivé du polynôme \(P\).
Démonstration :
Une démonstration par récurrence prouve immédiatement que :
pour tout entier \(k,k\ge 1,D^k(P)=P^{(k)}\) ,
pour tout \(r,1\leq r\leq n\), et pour tout \(k,1\leq k\leq r\leq n,\quad D^k(T^r)=r(r-1)\cdots(r-k+1)T^{r-k}\) .
Alors on a
\(\forall P(T)=a_0+\cdots+a_nT^n ,D^n(P)=n!a_n\) et \(D^{n+1}(P)=0\)
Cela prouve que \(D^{n+1}\) et \(D^n\neq0\) (puisque par exemple \(D^n(T^n)=n!\)).
Donc \(X^{n+1}\) est un polynôme annulateur de \(D\) et \(X^n\) n'en est pas un.
Donc \(P_{\textrm{min},D}(X)=X^{n+1}\).
Remarque :
On voit le rôle tout à fait fondamental joué par le fait que \(E\) est de type fini dans la démonstration de l'existence. Lorsque ce n'est pas le cas, tout peut se produire comme le prouvent les deux exemples suivants :
Soit \(E=\mathbf K[T]\quad (\mathbf K=\mathbb R\) ou \(\mathbf K=\mathbb C)\). Soient \(f\) et \(g\) les endomorphismes de \(E\) définis respectivement par \(f(P(T))=P'(T)\) et \(g(P(T))=P(-T)\).
Alors Ann\((f)=\{0\}\) et Ann\((g)\neq\{0\}\), plus précisément \(\textrm{Ann}(g)=(X^2-1)\mathbf K[X]\).
Preuve des résultats des deux exemples
Démonstration :
Montrons \(\textrm{Ann}(f)=\{0\}\)
Soit \(F\) un polynôme annulateur de \(f\). Ceci signifie que :
\((*)\quad\forall P\in\mathbf K[T],F(f)(P)=0\)
On peut écrire \(F(X)=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_0\) et donc \(F(f)=a_nf^n+a_{n-1}f^{n-1}+\cdots+a_0Id_E\) . Il est immédiat (par exemple grâce à une démonstration par récurrence) que \(f^k(P)=P^{(k)}\). Donc la propriété \((*)\) s'écrit :
\((*)\quad\forall P\in\mathbf K[T],F(f)(P)=a_nP^{(n)}+a_{n-1}P^{(n-1)}+\cdots+a_0P\).
On va montrer par récurrence que tous les coefficients de \(F\) sont nuls.
En appliquant la propriété \((*)\) au polynôme \(1\), il vient \(a_0=0\).
Supposons \(a_1=a_2=\cdots=a_p=0\).
Alors \(F(f)(P)=a_nP^{(n)}+a_{n-1}P^{(n-1)}+\cdots+a_{p+1}P^{(p+1)}\).
En appliquant la propriété \((*)\) au polynôme \(P(T)=T^{p+1}\), on obtient \((p+1)!a_{p+1}=0\), d'où comme l'on est dans un corps de caractéristique nulle, \(a_{p+1}=0\) . Tous les coefficients jusqu'à \(a_n\) sont donc nuls et le polynôme \(F\) est le polynôme nul.
Ce procédé fonctionne car, quelque soit l'entier \(n\), le polynôme \(T^n\) appartient à l'espace vectoriel considéré, à savoir \(E=K[T]\).
Il est intéressant de rapprocher cette remarque de l'exemple ci-dessus où l'on considère l'espace vectoriel formé du polynôme nul et des polynômes de degré inférieur ou égal à un entier donné. L'argument utilisé ici n'est alors plus valable.
Démonstration :
Montrons \(\textrm{Ann}(g)\ne\{0\}\)
Il est clair que \(g^2(P(T))=g(P(-T))=P(T)\) donc \(g^2=Id_E\). Le polynôme non nul \(X^2-1\) est donc un polynôme annulateur de \(g\). Il appartient à \(\textrm{Ann}(g)\) qui, par conséquent, n'est pas réduit à \(0\).
Démonstration :
Montrons Ann\((g)=(X^2-1)\mathbf K[X]\)
Il est possible de préciser davantage. En effet le générateur unitaire de l'idéal des polynômes annulateurs de \(g\) est un diviseur de \(X^2-1\), donc c'est \(X+1\) ou \(X-1\) ou \(X^2-1\).
Si c'est \(X+1\), alors \(g+Id_E=0\) , soit \(\forall P\in\mathbf K[T],P(-T)+P(T)=0\), ce qui est évidemment faux (il suffit pour s'en convaincre de considérer le polynôme \(T^2\). De même, si c'est \(X-1,\forall P\in\mathbf K[T],P(-T)-P(T)=0\), ce qui est évidemment faux (il suffit pour s'en convaincre de considérer le polynôme \(T\)). Donc ce générateur est le polynôme \(X^2-1\) d'où le résultat.