Polynôme minimal

\(A_1=\left(\begin{array}{cccccccc} a&0&0 \\ 0&b&0 \\0&0&c \end{array}\right)\) est une matrice diagonale donc évidemment diagonalisable, ses valeurs propres sont les trois éléments distincts de la diagonale ; le polynôme minimal de A₁ a pour racines les réels \(a\), \(b\), \(c\), et ce sont des racines simples. On en déduit que \(P_{min,A_1}(X)=(X-a)(X-b)(X-c)\).

\(A_2=\left(\begin{array}{cccccccc} a&0&0 \\ 0&b&0 \\0&0&b \end{array}\right)\) est une matrice diagonale donc évidemment diagonalisable, ses valeurs propres sont \(a\) (simple) et \(b\) (double) ; le polynôme minimal de A₂ a pour racines les réels \(a\) et \(b\) et ce sont des racines simples. On en déduit que \(P_{min,A_2}(X)=(X-a)(X-b)\).

Remarque :

Pour les deux matrices A₁ et A₂ on pouvait également les décomposer en blocs dont les polynômes minimaux sont triviaux et obtenir ensuite le polynôme minimal comme PPCM des polynômes minimaux de chacun des blocs : par exemple \(M_1=(a)\) a pour polynôme minimal \(P_{min,M_1}(X)=(X-a)\) et \(M_2=\left(\begin{array}{cccccccc} b&0 \\0&b \end{array}\right)\) a pour polynôme minimal \(P_{min,M_2}(X)=(X-b)\), les complexes \(a\) et \(b\) étant distincts, on en déduit que \(P_{min,A_2}(X)=(X-a)(X-b)\).

\(A_2=\left(\begin{array}{cccccccc} a&0&0 \\ 0&b&1 \\0&0&b \end{array}\right)\)

est une matrice triangulaire, ses valeurs propres sont \(a\) (simple) et \(b\) (double) ; les réels \(a\) et \(b\) sont les racines du polynôme minimal mais ici, ne sachant pas si cette matrice est diagonalisable, on ne sait pas si ces racines sont simples ou non.

Le plus rapide est de décomposer cette matrice en blocs :

• \(M_1=(a)\) dont le polynôme minimal est \(P_{min,M_1}(X)=(X-a)\)

• \(M_2=\left(\begin{array}{cccccccc} b&0 \\0&b \end{array}\right)\) dont le polynôme minimal est de la forme \((X-b)^k\) où \(k\) est le plus petit entier tel que \((M_2-bI_2)^k=0\); il est facile de vérifier que \((M_2-bI_2)\ne0\) et \((M_2-bI_2)^2=0\), donc \(P_{min,M_2}(X)=(X-b)^2\).

Le polynôme minimal de A₃ est le PPCM de \(P_{min,M_1}(X)\) et \(P_{min,M_2}(X)\), donc \(P_{min,A_3}(X)=(X-a)(X-b)^2\).

\(A_4=\left(\begin{array}{cccccccc} a&0&0 \\ 0&a&0 \\0&0&a\end{array}\right)\) est une matrice diagonale égale à aI₃ on a donc \(A_4-aI_3=0\), d'où \(P_{min,A_4}(X)=(X-a)\).

\(A_5=\left(\begin{array}{cccccccc} a&1&0 \\ 0&a&1 \\0&0&a \end{array}\right)\) est une matrice triangulaire, son unique valeur propre est \(a\) (triple) ; le réel \(a\) est la racine du polynôme minimal, celui-ci est donc de la forme \((X-a)^k\), où \(k\) est le plus petit entier tel que \((A_5-aI_3)^k=0\).

\(A_5-aI_3=\left(\begin{array}{cccccccc} 0&1&0 \\ 0&0&1 \\0&0&0 \end{array}\right)\)

\((A_5-aI_3)^2=\left(\begin{array}{cccccccc} 0&0&1 \\ 0&0&0 \\0&0&0\end{array}\right)\)

\((A_5-aI_3)^3=\left(\begin{array}{cccccccc} 0&0&0 \\ 0&0&0 \\0&0&0 \end{array}\right)\)

Donc \(P_{min,A_5}(X)=(X-a)^3\)

\(A_6=\left(\begin{array}{cccccccc} a&0&0 \\ 0&a&1 \\0&0&a \end{array}\right)\) est une matrice triangulaire, son unique valeur propre est \(a\) (triple). Pour calculer le polynôme minimal, le plus simple est de décomposer cette matrice en blocs comme pour la matrice A₃ :

• \(M_1=(a)\) dont le polynôme minimal est \(P_{min,M_1}(X)=(X-a)\).

• \(M_2=\left(\begin{array}{cccccccc} a&1 \\0&a\end{array}\right)\) dont le polynôme minimal est \(P_{min,M_2}(X)=(X_a)^2\).

Le polynôme minimal de A₆ est le PPCM de \(P_{min,M_1}(X)\) et \(P_{min,M_2}(X)\), donc \(P_{min,A_6}(X)=(X-a)^2\).