Propriété d'un endomorphisme dont on connaît le polynôme minimal
Durée : 10 mn
Note maximale : 5
Question
Soit \(f\) un endomorphisme d'un \(\mathbf K\)-espace vectoriel de type fini, de polynôme minimal \(X^5-X^2-X+2\).
Justifier l'existence de deux polynômes \(A\) et \(B\) de degrés au plus 1 tels que \(f^5=A(f)\bigcirc B(f)\).
Solution
Le polynôme \(X^5-X^2-X+2\) est le polynôme minimal de \(f\), c'est donc un polynôme annulateur de \(f\).
On a donc : \(f^5-f^2-f+2Id_E=0\).
D'où la relation \(f^5=f^2+f-2Id_E\).
On considère le polynôme \(Q(X)=X^2+X-2\).
La relation précédente s'écrit donc \(f^5=Q(f)\).
Or les racines de \(Q(X)\) sont 1 et -2, ce qui donne la factorisation de \(Q(X)\):
\(Q(X)=A(X)B(X)\) avec \(A(X)=X-1\) et \(B(X)=X+2\).
D'où \(f^5=A(f)\bigcirc B(f)=(f-Id_E)\bigcirc(f+2Id_E)\).