Polynôme minimal

Cette ressource est composée de trois exercices.

Les deux premiers exercices proposent des démonstrations différentes d'une même propriété : une matrice carrée à coefficients réels admet le même polynôme minimal lorsqu'on la considère comme matrice à coefficients dans \(\mathbb R\) ou dans \(\mathbb C\). Cette propriété n'est pas aussi évidente que celle correspondante pour le polynôme caractéristique. La preuve proposée dans le premier exercice utilise comme outil essentiel la caractérisation du rang d'un système de vecteurs à l'aide des déterminants. Celle proposée dans le deuxième exercice utilise principalement une bonne compréhension de la définition du polynôme minimal et le fait que \(\mathbb C\) est un \(\mathbb R\)-espace vectoriel de dimension 2.

Le dernier exercice permet de répondre à la question suivante : si une puissance d'un endomorphisme inversible est diagonalisable, cet endomorphisme est-il diagonalisable ?

• Prérequis indispensables :

  • Le cours sur le polynôme minimal d'un endomorphisme ou d'une matrice : polynôme annulateur, définition du polynôme minimal, le lien entre les racines du polynôme minimal et les valeurs propres, la caractérisation des endomorphismes diagonalisables à l'aide du polynôme minimal.

• Prérequis utiles :

  • La détermination du rang d'une matrice à l'aide des déterminants.

  • Le cours sur les polynômes et les racines d'un nombre complexe.

• Temps de travail prévu : 50 minutes