Le polynôme minimal ne dépend pas du corps dans lequel on le calcule (preuve 2)
Partie
Question
Soit \(n>1\) un entier et \(A\in M_n(\mathbb R)\) une matrice à coefficients réels. On note \(P_{\textrm{min},A}(X)\in\mathbb R[X]\) le polynôme minimal de la matrice \(A\) considérée comme matrice de \(M_n(\mathbb R)\), et \(Q_{\textrm{min},A}(X)\in\mathbb C[X]\) le polynôme minimal de la matrice \(A\) considérée comme matrice du \(\mathbb C\)-espace vectoriel \(M_n(\mathbb C)\).
Montrer que dans l'anneau des polynômes \(\mathbb C[X]\), le polynôme \(Q_{\textrm{min},A}(X)\) divise le polynôme \(P_{\textrm{min},A}(X)\).
On note \(R(X)\) et \(S(X)\) les polynômes de \(\mathbb R[X]\) tels que :
\(Q_{\textrm{min},A}(X)=R(X)+iS(X)\)
Montrer que \(R(X)\) et \(S(X)\) sont des multiples du polynôme \(P_{\textrm{min},A}(X)\).
En déduire que les polynômes \(P_{\textrm{min},A}(X)\) et \(Q_{\textrm{min},A}(X)\) sont égaux.
Aide méthodologique
On peut utiliser la définition du polynôme minimal.
On sait que tout polynôme annulateur d'une matrice carrée est un multiple du polynôme minimal de cette matrice.
Aide à la lecture
Une matrice à coefficients réels de \(M_n(\mathbb R)\) peut être considérée comme une matrice de \(M_n(\mathbb C)\).
Lorsque la matrice est considérée comme élément du \(\mathbb R\)-espace vectoriel \(M_n(\mathbb R)\), son polynôme minimal est un élément de \(\mathbb R[X]\).
Lorsque la matrice est considérée comme élément du \(\mathbb C\)-espace vectoriel \(M_n(\mathbb C)\), son polynôme minimal est un élément de \(\mathbb C[X]\).
Solution détaillée
Le polynôme \(P_{\textrm{min},A}(X)\) étant à coefficients réels, il peut être considéré comme un polynôme de \(\mathbb C[X]\). Comme \(P_{\textrm{min},A}(X)\) est un polynôme annulateur de \(A\), il est dans l'idéal de \(\mathbb C[X]\) engendré par le polynôme \(Q_{\textrm{min},A}(X)\) : il existe un polynôme \(T(X)\) de \(\mathbb C[X]\) tel que :
\(P_{\textrm{min},A}(X)=T(X)Q_{\textrm{min},A}(X)\)
Cette égalité signifie que dans \(\mathbb C[X]\) le polynôme \(Q_{\textrm{min},A}(X)\) divise le polynôme \(P_{\textrm{min},A}(X)\).
Comme \(Q_{\textrm{min},A}(X)\) est un polynôme annulateur de \(A\), \(Q_{\textrm{min},A}(A)=0\). On a noté \(R(X)\) et \(S(X)\) les polynômes de \(\mathbb R[X]\) tels que :
\(Q_{\textrm{min},A}(X)=R(X)+iS(X)\)
Par conséquent on a \(Q_{\textrm{min},A}(A)=R(A)+iS(A)\) et \(R(A)+iS(A)=0\),
où \(0\) est la matrice nulle de \(M_n(\mathbb C)\).
Or les polynômes \(R(X)\) et \(S(X)\) ainsi que la matrice \(A\) sont à coefficients réels, par conséquent les matrices \(R(A)\) et \(S(A)\) sont à coefficients réels. Comme \(\mathbb R\) est un \(\mathbb C\)-espace vectoriel de dimension 2 dont une base est \((1,i)\) l'égalité :
\(R(A)+iS(A)=0\) n'est réalisée que si \(R(A)=S(A)=0\).
Les polynômes à coefficients réels \(R(X)\) et \(S(X)\) sont des annulateurs de la matrice \(A\), par conséquent ils sont dans l'idéal de \(\mathbb R[X]\) engendré par le polynôme \(P_{\textrm{min},A}(X)\).
Autrement dit, dans \(\mathbb R[X]\), les polynômes \(R(X)\) et \(S(X)\) sont des multiples du polynôme \(P_{\textrm{min},A}(X)\).
Nous avons montré dans la question précédente, l'existence de deux polynômes \(U(X)\), \(V(X)\) de \(\mathbb R[X]\) tels que :
\(R(X)=P_{\textrm{min},A}(X).U(X)\) et \(S(X)=P_{\textrm{min},A}(X).V(X)\)
Comme \(Q_{\textrm{min},A}(X)=R(X)+iS(X)\) nous obtenons :
\(Q_{\textrm{min},A}(X)=P_{\textrm{min},A}(X).(U(X)+iS(X))\)
Cette égalité prouve que dans \(\mathbb C[X]\) le polynôme \(P_{\textrm{min},A}(X)\) divise le polynôme \(Q_{\textrm{min},A}(X)\). Or nous avons montré dans la question 1. que dans \(\mathbb C[X]\) le polynôme \(Q_{\textrm{min},A}(X)\) divise le polynôme \(P_{\textrm{min},A}(X)\), comme ces polynômes sont unitaires ils sont égaux.