Détermination du polynôme minimal en utilisant des propriétés du polynôme minimal d'un vecteur
Partie
Question
Soit \(f\) l'endomorphisme de \(\mathbb R^4\) dont la matrice dans la base canonique \(B=(e_1,e_2,e_3,e_4)\) est égale à \(A=\left(\begin{array}{cccc}1&1&2&4\\1&1&2&4\\1&2&1&4\\-5&0&0&-5\end{array}\right)\).
Montrer que \(A^4+2A^3+A^2=0\).
Calculer, pour \(p=1,2,3\), \(f^p(e_2)\).
Montrer que les vecteurs \(e_2,f(e_2),f^2(e_2),f^3(e_2)\) sont linéairement indépendants.
En déduire le polynôme minimal de \(A\).
La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?
Aide simple
Pour la première question on pourra soit faire le calcul tel qu'il se présente, soit, si on le connaît, utiliser le théorème de Cayley Hamilton.
Pour la cinquième question, voici un rappel de cours :
Un endomorphisme (respectivement une matrice) est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est scindé dans \(\mathbf K\) et n'a que des racines simples.
Aide méthodologique
Pour avoir le degré du polynôme minimal relativement à \(f\) d'un vecteur non nul \(v\) on cherche le plus petit entier \(n\) (qui sera nécessairement compris entre 1 et la dimension de l'espace) tel que la famille \(v,f(v),\cdots,f^n(v)\) soit liée. Cet entier sera alors le degré de \(P_{\textrm{min},f,v}\).
Pour en déduire une propriété du polynôme minimal de \(f\), on utilise le fait que \(P_{\textrm{min},f,v}\) divise \(P_{\textrm{min},f}\).
Aide à la lecture
La première question donne un polynôme annulateur de \(f\), de degré 4. La deuxième et la troisième conduisent à la détermination du degré du polynôme minimal de \(e_2\) relativement à \(f\).
Cela permettra de calculer le polynôme minimal de \(A\) et d'en déduire la réponse à la question : La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?
Attention on ne demande pas de déterminer le polynôme minimal de \(e_2\) relativement à \(f\).
Solution détaillée
Deux méthodes :
ou bien on fait le calcul directement, ce qui est un peu long mais efficace si l'on ne connaît pas le théorème de Cayley Hamilton,
ou bien on connaît le théorème de Cayley Hamilton et on l'applique. Pour cela il est nécessaire de calculer le polynôme caractéristique de \(A\).
Calcul du polynôme caractéristique de A
En remplaçant la première ligne \(L_1\) par \(L_1-L_2\), il vient :
\(\left|\begin{array}{cccc}1-X&1&2&4\\1&1-X&2&4\\1&2&1-X&4\\-5&0&0&-5-X\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}-X&X&0&0\\1&1-X&2&4\\1&2&1-X&4\\-5&0&0&-5-X\end{array}\right|\)
En remplaçant la deuxième colonne \(C_2\) par \(C_2+C_1\), on obtient :
\(\left|\begin{array}{cccc}-X&X&0&0\\1&1-X&2&4\\1&2&1-X&4\\-5&0&0&-5-X\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}-X&0&0&0\\1&2-X&2&4\\1&3&1-X&4\\-5&-5&0&-5-X\end{array}\right|\)
D'où, en développant par rapport à la première ligne, cela donne :
\(P_{\textrm{car},A}(X)=-X\left|\begin{array}{ccc}2-X&2&4\\3&1-X&4\\-5&0&-5-X\end{array}\right|\)
et donc en remplaçant \(L_2\) par \(L_2-L_1\), on obtient :
\(P_{\textrm{car},A}(X)=-X\left|\begin{array}{ccc}2-X&2&4\\1+X&-1-X&0\\-5&0&-5-X\end{array}\right|\)
et en remplaçant la première colonne \(C_1\) par \(C_1+C_2\), on obtient :
\(P_{\textrm{car},A}(X)=-X\left|\begin{array}{ccc}4-X&2&4\\0&-1-X&0\\-5&0&-5-X\end{array}\right|\)
d'où, en développant par rapport à la deuxième ligne, cela donne :
\(P_{\textrm{car},A}(X)=X(X+1)\left|\begin{array}{cc}4-X&4\\-5&-5-X\end{array}\right|=X^2(X+1)^2\).
On obtient \(P_{\textrm{car},A}(X)=X^2(X+1)^2=X^4+2X^3+X^2\).
Le théorème de Cayley Hamilton permet alors de conclure.
On a \(f(e_2)=e_1+e_2+2e_3\).
Calcul de \(f^2(e_2)\) et \(f^3(e_2)\)
Pour calculer \(f^2(e_2)\), on peut, par exemple, faire le calcul matriciel :
\(\left(\begin{array}{cccc}1&1&2&4\\1&1&2&4\\1&2&1&4\\-5&0&0&-5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\1\\2\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\6\\5\\-5\end{array}\right)\)
De même on obtient \(f^3(e_2)\) grâce au calcul :
\(\left(\begin{array}{cccc}1&1&2&4\\1&1&2&4\\1&2&1&4\\-5&0&0&-5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}6\\6\\5\\-5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\2\\3\\-5\end{array}\right)\)
D'où \(f^2(e_2)=6e_1+6e_2+5e_3-5e_4\) et \(f^3(e_2)=2e_1+2e_2+3e_3-5e_4\).
Pour montrer que les quatre vecteurs \(e_2,f(e_2),f^2(e_2),f^3(e_2)\) sont linéairement indépendants dans l'espace de dimension 4, \(\mathbb R^4\), il suffit de vérifier que leur déterminant dans la base \(B=(e_1,e_2,e_3,e_4)\) est non nul.
Or \(\textrm{det}_B(e_2,f(e_2),f^2(e_2),f^3(e_2))=\left|\begin{array}{cccc}0&1&6&2\\1&1&6&2\\0&2&5&3\\0&0&-5&-5\end{array}\right|\).
Le calcul de ce déterminant donne :
\(\left|\begin{array}{cccc}0&1&6&2\\1&1&6&2\\0&2&5&3\\0&0&-5&-5\end{array}\right|=(-1)^3\left|\begin{array}{ccc}1&6&2\\2&5&3\\0&-5&-5\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{ccc}1&4&2\\2&2&3\\0&0&-5\end{array}\right|=-30\)
Les vecteurs \(e_2,f(e_2),f^2(e_2),f^3(e_2)\) sont donc linéairement indépendants.
Le résultat de la question précédente implique qu'il n'existe pas de polynôme annulateur de \(e_2\) de degré 3. Comme, d'après le cours, le polynôme minimal de \(e_2\) est de degré inférieur ou égal à 4, il est nécessairement exactement de degré 4.
Or, d'après la question 1. le polynôme \(X^4+2X^3+X^2\) est un polynôme annulateur de \(f\) et donc de tous les vecteurs \(e_i\), \(1\le i\le4\), et en particulier de \(e_2\). Comme de plus il est unitaire, c'est le polynôme minimal de \(e_2\) relativement à \(f\).
On en déduit que le polynôme minimal de \(f\), qui est un multiple des polynômes \(P_{\textrm{min},f,e_i}\), est un multiple du polynôme \(X^4+2X^3+X^2\).
Or puisque \(X^4+2X^3+X^2\) est un polynôme annulateur de \(f\), c'est un multiple du polynôme minimal de \(f\).
Donc \(P_{\textrm{min},f}(X)=X^4+2X^3+X^2=X^2(X+1)^2\).
La matrice \(A\) n'est pas diagonalisable car son polynôme minimal a des racines multiples.