Partie A
Partie
Soit \(n\) un entier naturel non nul, \(E\) un \(\mathbf K\)-espace vectoriel de dimension \(n\) (\(\mathbf K=\mathbb R\) ou \(\mathbf K=\mathbb C\)), \(u\) un endomorphisme de \(E\), \(P_{\textrm{min},u}(X)\) son polynôme minimal et \(P_{\textrm{car},u}(X)\) son polynôme caractéristique.
Question
Montrer que si il existe \(a\in E\) tel que \(E=\textrm{Vect }\{a,u(a),\cdots,u^{n-1}(a)\}\) alors
\(P_{\textrm{min},u}(X)=(-1)^nP_{\textrm{car},u}(X)\).
(Rappel : \(\textrm{Vect }\{a,u(a),\cdots,u^{n-1}(a)\}\) désigne le sous-espace vectoriel engendré par \(\{a,u(a),\cdots,u^{n-1}(a)\}\).)
Aide simple
Remarquer que \((a,u(a),...,u^{n-1}(a))\) est une base de \(E\), et montrer que tout polynôme non nul annulateur de \(u\) est de degré au moins \(n\).
Solution détaillée
Puisque \(E=Vect\{a,u(a),...,u^{n-1}(a)\}\) et \(E\) est un espace vectoriel de dimension \(n, (a,u(a),...,u^{n-1}(a))\) est une base de \(E\).
Soit \(Q(X)=\alpha_0+\alpha_1X+...+\alpha_{n-1}X^{n-1}\) un polynôme de \(\mathbf K[X]\) de degré au plus \(n-1\). On a :
\(Q(u)(a)=\alpha_0a+\alpha_1u(a)+...+\alpha_{n-1}u^{n-1}(a)\)
La famille \(\{a,u(a),...,u^{n-1}(a)\}\) étant libre, \(Q(u)(a)=0_E\) si et seulement si \(Q(X)\) est le polynôme nul. Par conséquent tout polynôme non nul annulateur de \(u\) est de degré au moins \(n\). D'après le théorème de Cayley-Hamilton \(P_{car,u}(X)\) est un polynôme annulateur de \(u\). Ce polynôme est de degré \(n\) et (suivant notre définition du polynôme caractéristique) le coefficient de son terme de plus haut degré est \((-1)^n\). Ceci prouve que \((-1)^nP_{car,u}(X)\) est un polynôme unitaire annulateur de \(u\) de plus bas degré, c'est donc le polynôme minimal de \(u\) et \(P_{min,u}(X)=(-1)^nP_{car,u}(X)\).