Partie A
Partie
Soit \(n\) un entier naturel non nul, \(E\) un \(\mathbf K\)-espace vectoriel de dimension \(n\) (\(\mathbf K=\mathbb R\) ou \(\mathbf K=\mathbb C\)), \(u\) un endomorphisme de \(E\), \(P_{\textrm{min},u}(X)\) son polynôme minimal et \(P_{\textrm{car},u}(X)\) son polynôme caractéristique.
Question
Montrer que si il existe \(a\in E\) tel que \(E=\textrm{Vect }\{a,u(a),\cdots,u^{n-1}(a)\}\) alors
\(P_{\textrm{min},u}(X)=(-1)^nP_{\textrm{car},u}(X)\).
(Rappel : \(\textrm{Vect }\{a,u(a),\cdots,u^{n-1}(a)\}\) désigne le sous-espace vectoriel engendré par \(\{a,u(a),\cdots,u^{n-1}(a)\}\).)