Partie C
Partie
Soit \(n\) un entier naturel non nul, \(E\) un \(\mathbf K\)-espace vectoriel de dimension \(n\) (\(\mathbf K=\mathbb R\) ou \(\mathbf K=\mathbb C\)), \(u\) un endomorphisme de \(E\), \(P_{\textrm{min},u}(X)\) son polynôme minimal et \(P_{\textrm{car},u}(X)\) son polynôme caractéristique.
Dans cette partie nous donnons une version matricielle du résultat obtenu dans les parties A et B.
Question
Dans cette partie nous donnons une version matricielle du résultat obtenu dans les parties A et B.
Soit \(n\) un entier naturel non nul et \(A\) une matrice \(M_n(\mathbf K)\). Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :
\(P_{\textrm{min},A}(X)=(-1)^nP_{\textrm{car},A}(X)\).
La matrice \(A\) est semblable à une matrice de la forme \(\left(\begin{array}{ccccc}0&0&\cdots&0&\alpha_1\\1&\ddots&\ddots&\vdots&\alpha_2\\0&1&\ddots&0&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&0&\alpha_{n-1}\\0&\cdots&0&1&\alpha_n\end{array}\right)\).
Solution détaillée
Soit \(B\) la base canonique de \(\mathbf K^n\) et \(u\) l'endomorphisme de \(\mathbf K^n\) dont la matrice dans la base \(B\) est \(A\).
Par définition des polynômes caractéristiques et minimaux des endomorphismes et des matrices on a :
\(P_{car,u}(X)=P_{car,A}(X)\) et \(P_{min,u}(X)=P_{min,A}(X)\).
1. Si \(P_{min,A}(X)=(-1)^nP_{car,A}(X)\) alors \(P_{min,u}(X)=(-1)^nP_{car,u}(X)\) et d'après la partie (B), il existe un élément \(a\in\mathbf K^n\) tel que \(B_a=(a,u(a),...,u^{n-1}(a))\) soit une base de \(\mathbf K^n\). Soient \(\alpha_1,...,\alpha_n\) les scalaires tels que \(u^n (a)=\alpha_1 a+\alpha_2 u(a)+...+\alpha_{n-1} u^{n-1}(a)\), alors :
\(M(u,B_a)=C_a,\)
où \(\alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n)\) et \(C_{\alpha}\) la matrice de \(M_n(\mathbf K)\) définie par :
\(C_{\alpha}=\left(\begin{array}{cccccccc} 0&0&\ldots &0&\alpha_1 \\ 1&\ddots&\ddots&\vdots&\alpha_2 \\ 0&1&\ddots&0& \vdots\\ \vdots &\ddots &\ddots& 0 &\alpha_{n-1} \\ 0&\ldots&0&1&\alpha_n \end{array}\right).\)
Comme \(M(u,B)=A\), la matrice \(A\) est semblable à la matrice \(C_{\alpha}\). Ceci prouve que (1) implique (2).
2. Si la matrice \(A\) est semblable à une matrice de la forme précédente \(C_{\alpha}\), il existe une base \(B'=(e_1,...,e_2)\) de \(\mathbf K^n\) tel que \(M(u,B')=C_{\alpha}\). On a donc :
\(u(e_1)=e_2,...,u(e_{n-1})=e_n.\)
Ceci prouve que pour tout \(k, 1\le k\le n\), on a \(e_k=u^{k-1}(e_1)\) et \(\mathbf K^n=Vect\{e_1,u(e_1),...,u^{n-1}(e_1)\}\). Par conséquent \(P_{min,}(X)=(-1)^nP_{car,u}(X)\) et on a :
\(P_{min,A}(X)=(-1)^nP_{car,A}(X).\)
Ceci prouve que (2) implique (1).