Introduction
Nous avons vu au paragraphe précédent que les séries absolument convergentes ont des propriétés que n'ont pas les séries semi-convergentes. Aussi, quand on étudie une série \(\sum u_n\) à termes de signe quelconque, il est indispensable d'étudier d'abord la série des valeurs absolues \(\sum|u_n|\).
Si la série \(\sum|u_n|\) est convergente alors la série \(\sum u_n\) est absolument convergente et donc convergente.
Si la série \(\sum|u_n|\) est divergente alors, si on a déduit la divergence de la série \(\sum|u_n|\) en la comparant à une série géométrique (règle de d'Alembert ou de Cauchy), le terme général \(u_n\) ne tend pas vers 0 et la série \(\sum u_n\) est divergente. En revanche, si on a étudié la série \(\sum|u_n|\) en la comparant à une série de Riemann, alors l'étude n'est pas terminée et il faut voir s'il est possible d'utiliser, pour la série \(\sum u_n\), un des critères concernant les séries semi-convergentes que nous allons maintenant démontrer. On remarquera qu'ils donnent une condition suffisante de convergence et que leur domaine d'application est a priori très limité. En fait leur usage est plus fréquent qu'on pourrait le penser : ainsi le théorème d'Abel est très utile dans l'étude des séries de Fourier.