Question 1
Durée : 5 mn
Note maximale : 3
Question
On considère la série entière \(\sum a_nz^n\) définie par la suite \((a_n)\) de ses coefficients : \(a_n=\textrm{nombre de diviseurs de n}, (n\geq 1)\).
Déterminer le rayon de convergence \(R\).
Justifier.
Solution
On a la double inégalité : \(\forall n\geq 1\), \(1\leq a_n\leq n\).
On en déduit : \(1\leq a_n^{\frac1n}\leq n^{\frac1n}\) d'où \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}a_n^{\frac1n}=1\) et \(R=1\).
On peut écrire également : \(\forall z\in C, \forall n\geq 0\), \(|z^n|\leq|a_nz^n|\leq n|z^n|\).
Par application du théorème de comparaison, on obtient \(R=1\).