Question 5
Durée : 5 mn
Note maximale : 4
Question
Soit \(\sum a_nz^n\) une série entière dont le rayon de convergence est non nul. Montrer que la série entière \(\sum \frac{a_n}{n!}z^n\) a un rayon de convergence infini.
Solution
Il existe un nombre complexe \(z_0\) non nul tel que la série \(\sum a_nz_0^n\) est convergente.
La suite \((a_nz_0^n)\) est donc bornée et il existe un réel \(M\) tel que : \(\forall n\in N\), \(|a_nz^n_0|\leq M\).
On en déduit : \(\forall z\in C\), \(\left|\frac{a_n}{n!}z^n\right|\leq \frac{M}{n!}\left|\frac{z}{z_0}\right|^n\).
La série \(\sum \frac{a_n}{n!}z^n\) est donc absolument convergente pour tout \(z\in C\) : le rayon de convergence est infini.
Erreur à ne pas commettre : ce n'est pas parce qu'une série entière \(\sum a_nz^n\) a un rayon de convergence non nul que le rapport \(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\) a une limite !!! ni même qu'il existe.