Question 3
Durée : 6 mn
Note maximale : 7
Question
On considère la série entière \(\sum a_nz^n\) définie par la suite \((a_n)\) de ses coefficients :
\(a_n=\left(\frac{n-1}{n}\right)^{n^2}\) \((n\geq 1)\).
Déterminer le rayon de convergence \(R\).
Justifier.
Solution
Pour tout entier \(n\) strictement positif, on a \(a_n>0\). On écrit : \(\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\left(\frac{n}{n+1}\right)^{(n+1)^2}}{\left(\frac{n-1}{n}\right)^{n^2}}\),
D'où \(\ln{\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)}=(n+1)^2\ln{\left(\frac{n}{n+1}\right)}-n^2\ln{\left(\frac{n-1}{n}\right)}\).
On a donc : \(\ln{\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)}=-(n+1)^2\ln{\left(1+\frac1n\right)}-n^2\ln{\left(1-\frac1n\right)}\).
En écrivant les développements limités de \(\ln{\left(1+\frac1n\right)}\) et de \(\ln{\left(1-\frac1n\right)}\), on obtient :
\(\ln{\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)}=-(n^2+2n+1)\left(\frac1n-\frac{1}{2n^2}+\circ\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)-n^2\left(-\frac1n-\frac{1}{2n^2}+\circ\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)\)
et donc \(\ln{\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)}=\frac12-2+\frac12+\circ(1)\).
On a donc finalement : \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac1e\).
Par suite \(R=e\).