Exponentielle complexe

L'équation s'écrit \(\cos{z}+\cos{(iz)}=0\).

En utilisant les formules de transformation de produit en somme, on obtient : \(2\cos{\left(z\frac{1+i}{2}\right)}\cos{\left(z\frac{1-i}{2}\right)}=0\).

L'ensemble des solutions est donc constitué de l'ensemble des nombres complexes qui vérifient l'une ou l'autre des équations :

\(z\frac{(1+i)}{2}=\frac{\pi}{2}+k\pi\) \((k\in Z)\)

\(z\frac{(1-i)}{2}=\frac{\pi}{2}+k\pi\) \((k\in Z)\)

L'ensemble des solutions de l'équation est donc l'ensemble \(\left\{\left(\frac\pi 2+k\pi\right)(1-i);k\in Z\right\}\cup\left\{\left(\frac\pi 2+k\pi\right)(1+i);k\in Z\right\}\).