Question 1
Durée : 3 mn
Note maximale : 3
Question
On considère la série entière \(\displaystyle\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^nz^{2n+1}}{(2n-1)(2n+1)}\).
Déterminer son rayon de convergence \(R\). Justifier.
Solution
Pour tout \(z\), on pose : \(u_n(z)=\frac{(-1)^nz^{2n+1}}{(2n-1)(2n+1)}\). Pour tout \(z\) non nul et tout entier \(n\), on a \(u_n(z)\neq 0\), et \(\frac{u_{n+1}(z)}{u_n(z)}=\frac{(2n-1)|z|^2}{2n+3}\), d'où \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}\left|\frac{u_{n+1}(z)}{u_n(z)}\right|=|z|^2\). Ainsi, si \(|z|^2<1\), la série converge, et si \(|z|^2>1\), la série diverge.
On en déduit \(R=1\).