Question 3
Durée : 5 mn
Note maximale : 7
Question
On note \(F\) la fonction définie dans le disque \(\overline{D}(0,R)\) par : \(F(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^nz^{2n+1}}{(2n-1)(2n+1)}\). Déterminer \(F\) dans l'intervalle \([-R,R]\). Indication : montrer que \(F\) est dérivable et déterminer d'abord \(F'\).
Solution
D'après la question précédente, la série entière \(\sum\frac{(-1)^n}{(2n+1)(2n-1)}z^{2n+1}\) est uniformément convergente dans le disque unité fermé \(\overline{D}(0,1)\). La restriction de \(F\) à l'intervalle \(]-1,1[\) est donc indéfiniment dérivable.
La restriction de \(F\) à l'intervalle \(]-1,1[\) vérifie : \(F'(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{2n-1}=x\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\frac{x^{2n-1}}{2n-1}\).
Posons \(\phi(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\frac{x^{2n-1}}{2n-1}\). Le rayon de convergence de la série entière \(\displaystyle\sum_{n\geq 1}(-1)^n\frac{z^{2n-1}}{2n-1}\) est également 1. Dans l'intervalle \(]-1,1[\) on a donc \(\phi'(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^nx^{2n-2}=-\frac{1}{1+x^2}\), et on obtient alors par intégration : \(\phi(x)=-\displaystyle\int_0^x\frac{dt}{1+t^2}=-\arctan{x}\), car \(\phi(0)=0\). On en déduit \(F'(x)=-x\arctan{x}\), et avec une nouvelle intégration : \(F(x)=-\displaystyle\int_0^xt\arctan{t} dt\)car \(F(0)=0\).
Une intégration par partie conduit aux calculs suivants : \(\displaystyle\int_0^xt\arctan{t}dt=\frac12x^2\arctan{x}-\frac12\displaystyle\int_0^x\frac{t^2}{1+t^2}dt=\frac12x^2\arctan{x}-\frac x2+\frac12\arctan{x}\).
On a donc finalement sur l'intervalle \(]-1,1[\): \(F(x)=\frac{x^2+1}{2}\arctan{x}-\frac x2\).
Comme la fonction \(F\) est continue aux points 1 et –1, l'expression reste valable en ces points.