Question 2

Durée : 5 mn

Note maximale : 2

Question

Montrer que la série entière \(\displaystyle\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^nz^{2n+1}}{(2n-1)(2n+1)}\) est normalement convergente dans le disque fermé \(\overline{D}(0,R)\).

Solution

Sur le cercle unité, la série des modules est la série \(\sum\frac{1}{(2n+1)(2n-1)}\) qui est convergente (son terme général positif est équivalent à \(\frac{1}{4n^2}\)).

Les inégalités : \(\forall z\in C\), \(|z|\leq 1\), \(\forall n\geq 1\), \(|a_nz^{2n+1}|\leq \frac{1}{(2n+1)(2n-1)}\) entraînent que la série entière est normalement convergente dans le disque unité fermé \(\overline{D}(0,1)\).

Remarque : on en déduit que pour tout \(z\) appartenant au disque unité fermé \(\overline{D}(0,1)\), la série \(\sum\frac{(-1)^n}{(2n+1)(2n-1)}z^{2n+1}\) est absolument convergente.