Exercice 25
Partie
Question
Étudier la convergence uniforme de la suite de fonctions (\(f_n\)) définies par : \(f_n(x) = \frac{1}{n^x}\) pour x \(\geqslant\) 0.
Aide simple
Penser à distinguer le cas x = 0.
En notant f la fonction définie sur \(\mathbb{R_+}\) par : \(\left \{ \begin{array}{cc} x=0 & f(x)=1 \\ x>0 & f(x)=0 \end{array} \right. \)alors \(\begin{array}{ccc}&cs&\\(f_n)&\rightarrow& f\\&\mathbb{R_+}&\end{array}\)
Solution détaillée
Toutes les fonctions \(f_n\) sont continues sur \(\mathbb{R_+}\) mais la fonction f (limite de la suite (\(f_n\))) définie sur \(\mathbb{R_+}\) par : \(\left \{ \begin{array}{cc} x=0 & f(x)=1 \\ x>0 & f(x)=0 \end{array} \right. \)n'est pas continue en 0, ce qui prouve que la convergence de la suite (\(f_n\)) vers f sur \(\mathbb{R_+}\) n'est pas uniforme.
La convergence de la suite (\(f_n\)) vers f sur \(\mathbb{R_+}\) n'est pas uniforme.