Exercice 26
Partie
Question
Étudier la convergence uniforme de la suite de fonctions (\(f_n\)) définies sur \(\mathbb{R^+}\) par :
\(f_n(x) = \frac{1}{ 1 + nx}\)
Aide simple
La suite (\(f_n\)) converge simplement sur \(\mathbb{R^+}\) vers la fonction f définie par f (0) = 1 et, pour x > 0, f (x) = 0.
Solution détaillée
Toutes les fonctions\( f_n\) sont continues sur \(\mathbb{R^+}\) mais la fonction f (limite de la suite (\(f_n\))) définie sur \(\mathbb{R^+}\) par : \(\left \{ \begin{array}{cc} x=0 & f(x)=1 \\ x>0 & f(x)=0 \end{array} \right. \)n'est pas continue en 0, ce qui prouve que la convergence de la suite (\(f_n\)) vers f sur \(\mathbb{R^+}\) n'est pas uniforme.
La convergence de la suite (\(f_n\)) vers la fonction f n'est pas uniforme sur \(\mathbb{R^+}\) .