Exercice 27
Partie
Question
Soit la suite (\(f_n\)) de fonctions définies sur \(\mathbb{R^+}\) par \(f_n(x) = \frac{x^n}{1+ x^n}\)
Étudier la convergence uniforme de (\(f_n\)) sur \(\mathbb{R^+}\) .
Aide simple
La suite (\(f_n\)) converge simplement sur \(\mathbb{R^+}\) vers la fonction f définie par \(\left \{ \begin{array}{cc} 0 \leqslant x < 1& f(x)=0 \\ x=1 & f(x)= \frac{1}{2} \\ 1 <x& f(x)=1 \end{array} \right.\)
Solution détaillée
Toutes les fonctions \(f_n\) sont continues sur \(\mathbb{R^+}\) mais la fonction f limites simple de la suite (\(f_n\) ) n'est pas continue ; il y a clairement discontinuité en 1. Ceci montre bien que la convergence de la suite ( \(f_n\) ) vers la fonction f n'est pas uniforme sur \(\mathbb{R^+}\).
La suite (\(f_n\)) ne converge pas uniformément sur \(\mathbb{R^+}\) vers f .