Convergence simple
Définition
Définition : Convergence simple
La série \(\left( \sum{f_{n}} \right)\) converge simplement sur \(I\) sur la suite de fonctions (\(S_{n}\)) converge simplement sur \(I\).
Méthode :
La fonction limite sera alors notée \(S\) ou \(\overset{+\infty}{\underset{n=0}{\sum}}f_{n}\), et appelée somme de la série \(\left( \sum{f_{n}} \right)\). On notera \(\left( \sum{f_{n}} \right) \overset{CS}{\underset{I}{\rightarrow}} S\).
À la différence des suites de fonctions, la fonction limite de la série sera en général difficile à exprimer. \(S\) a en général une existence «théorique».
Remarque :
La fonction \(R_{n}\), reste partiel au rang \(n\), est définie sur \(I\) si et seulement si la série de fonctions \(\left( \sum{f_{n}} \right)\) converge simplement sur \(I\).
En désignant par \(S\) sa somme : \(R_{n} = S - S_{n}\) soit \((\forall x \in I) \quad R_{n}(x) = \overset{+\infty}{\underset{k = n+1}{\sum}} f_{k}(x)\)
\(\left( \sum{f_{n}} \right)\) converge simplement sur \(I\) vers \(S\) si et seulement si la suite (\(R_{n}\)) converge simplement sur \(I\) vers \(0\)
\(\left( \sum{f_{n}} \right) \overset{CS}{\underset{I}{\longrightarrow}} S \Longleftrightarrow (R_{n}) \overset{CS}{\underset{I}{\longrightarrow}} 0\)
Exemples
Série géométrique
Série géométrique : \(\left( \sum{x^{n}} \right)\)
La somme partielle \(S_{n}\) est définie par \(S_{n}(x) = \frac{1 - x^{n+1}}{1 - x}\) pour tout \(x \neq 1\) et \(S_{n}(1) = n + 1\).
La série numérique \(\left( \sum{x^{n}} \right)\) converge si et seulement si \(|x| < 1\), donc pour \(x \in ]-1, 1[\).
La somme de la série géométrique est la fonction \(S\) définie sur \(]-1, 1[\) par : \(S(x) = \overset{+\infty}{\underset{n=0}{\sum}} x^{n} = \frac{1}{1 - x}\)
La fonction reste d'ordre n est ici explicitable : \(R_{n}(x) = \frac{x^{n+1}}{1 - x}\).
Développement en série de l'exponentielle
Développement en série de l'exponentielle : \(\left( \sum{\frac{x^{k}}{k!}} \right)\)
On sait (critère de d'Alembert) que pour tout \(x\) fixé, la série \(\left( \sum{\frac{x^{k}}{k!}} \right)\) est absolument convergente.
La série de fonctions \(\left( \sum{\frac{x^{k}}{k!}} \right)\) converge donc simplement sur \(\mathbb{R}\).
D'après la formule de Taylor en 0, à l'ordre \(n\) : \(e^{x} = \overset{n}{\underset{k=0}{\sum}} \frac{x^{k}}{k!} + \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} e^{c} \quad c \in ]0, x[\)
Cette expression va nous permettre de préciser la somme de la série.
Comme \(\frac{x^{n+1}}{(n + 1)!} e^{c} \leq \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} A\), avec \(A = \textrm{max}\{1, e^{x} \}\),
\(\underset{n \rightarrow + \infty}{\textrm{lim}}~\frac{x^{n+1}}{(n+1)!} = 0\) (la série converge donc, le terme général tend vers 0),
donc, \(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} \left( e^{x} - \overset{n}{\underset{k=0}{\sum}}~\frac{x^{k}}{k!} \right) = 0\).
La somme \(S\) de la série de fonctions \(\left( \sum{\frac{x^{k}}{k!}} \right)\) est donc la fonction \(x \mapsto e^{x}\).
Définition :
\((\forall x \in \mathbb{R}) \quad e^{x} = \overset{+\infty}{\underset{n=0}{\sum}}~\frac{x^{n}}{n!}\)
3ème Série
Série \(\left( \sum{\frac{\sin{(nx)}}{n^{2}}} \right)\) :
Pour tout \(x\) réel : \(\frac{\left| \sin{(nx)} \right|}{n^{2}} \leq \frac{1}{n^{2}}\).
La série numérique \(\left( \sum{\frac{\sin{(nx)}}{n^{2}}}\right)\) est donc convergente pour \(x\) fixé.
La série de fonctions \(\left( \sum{\frac{\sin{(nx)}}{n^{2}}} \right)\) est donc simplement convergente sur \(\mathbb{R}\).
On ne sait pas exprimer sa somme pour l'instant.
Série alternée
Série alternée : \(\left( \sum{\frac{(-1)^{n}}{x + n}} \right), x \in \mathbb{R}_{+}\) :
Soit \(x \geq 0\) fixé, \(\frac{1}{x + n} \geq 0\). La série est donc bien une série alternée.
De plus, la suite (positive) \(\left( \frac{1}{x + n} \right)^{n}\) décroît vers 0.
La série numérique est donc convergente pour tout \(x\) réel, d'après le critère de convergence des séries alternées (voir le module « Séries numériques »).
Si on ne sait pas exprimer simplement le reste, on sait en revanche le majorer d'après le même critère de convergence :
\((\forall x \in \mathbb{R}_{+}) \quad \left| R_{n}(x) \right| \leq \frac{1}{x + n + 1}\).
La série de fonctions \(\left( \sum{\frac{(-1)^{n}}{x + n}} \right)\) est donc simplement convergente sur \(\mathbb{R}\).