Convergence normale
Définition : Convergence normale
Soit \(\left( \sum{f_{n}} \right)\) une série de fonctions définies sur \(I\) et \(m_{n} = \underset{x \in I}{\textrm{sup}} \Big\{ |f_{n}(x)| \Big\} (m_{n} \in \mathbb{R}_{+}~~\textrm{ou}~~m_{n} = +\infty)\).
On dit que la série de fonctions \(\left( \sum{f_{n}} \right)\) est normalement convergente sur \(I\) lorsque la série numérique \(\left( \sum{m_{n}} \right)\) est convergente.
Théorème : Un critère de convergence normale
Soit (\(f_{n}\)) une suite d'applications de \(I\) dans \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\).
La série \(\left( \sum{f_{n}} \right)\) converge normalement sur \(I\) si et seulement si :
il existe une série numérique à termes positifs convergente \(\left( \sum{a_{n}} \right)\);
\((\forall n \in \mathbb{N}) \quad (\forall x \in I) \qquad |f_{n}(x)| \leq a_{n}\).
Attention !
Il est primordial que \(a_{n}\) ne dépende pas de \(x\) ! !
Démonstration :
Si la série (\(\sum{f_{n}}\)) est normalement convergente, il suffit de poser \(a_{n} = m_{n}\) pour obtenir une série numérique convenable.
Réciproquement, on a, par hypothèse : la série numérique \((\sum{a_{n}})\) est convergente et \((\forall x \in I)\quad|f_{n}(x)| \leq a_{n}\), donc \(m_{n} = \underset{x \in I}{\textrm{sup}} \Big\{ |f_{n}(x)| \Big\} \leq a_{n}\).
La série (\(\sum{m_{n}}\)) est alors convergente (théorème de comparaison des séries à termes positifs), donc la série (\(\sum{f_{n}}\)) est normalement convergente.
Exemple :
Exemple \(\left( \sum{\frac{\sin{(nx)}}{n^{2}}} \right)\)
La série \(\left( \sum{\frac{\sin{(nx)}}{n^{2}}} \right)\) est normalement convergente.
En effet,\( \frac{|\sin{(nx)}|}{n^{2}} \leq \frac{1}{n^{2}}\) et la série \(\left( \sum{\frac{1}{n^{2}}}\right)\) est convergente.
Remarque :
Si la série (\(\sum{f_{n}}\)) converge normalement, elle converge en particulier absolument pour tout \(x\) de \(I\).
Théorème : Lien entre convergence normale et convergence uniforme
Soit (\(f_{n}\)) une suite d'applications de \(I\) dans \(\mathbb{R}\). Si (\(\sum{f_{n}}\)) est normalement convergente sur \(I\), alors (\(\sum{f_{n}}\)) est uniformément convergente sur \(I\).
Démonstration :
Soit (\(\sum{f_{n}}\)) une série de fonctions normalement convergente : il existe donc une série numérique à termes positifs (\(\sum{a_{n}}\)) telle que : \(\forall n \in \mathbb{N}, \forall x \in I, |f_{n}(x)| \leq a_{n}\), et \(\overset{+\infty}{\underset{n = 0}{\sum}}a_{n} < +\infty\).
Fixons \(\epsilon > 0\). Puisque (\(\sum{a_{n}}\)) est convergente, elle satisfait le critère de Cauchy.
Donc \((\exists N \in \mathbb{N}) \left[ N \leq n < p \Longrightarrow a_{n+1} + a_{n+2} + ... + a_{p} < \epsilon \right]\).
Soient alors \(n, p \in \mathbb{N}\) vérifiant \(N \leq n < p\) et soit \(x \in I\), on a :\( \begin{array}{r c l}|f_{n+1}~(x) + ... + f_{p}~(x)| & \leq & |f_{n+1}~(x)| + |f_{n+2}~(x)| + ... + |f_{p}~(x)| \\& \leq & a_{n+1} + a_{n+2} + ... + a_{p} \\& < & \epsilon\end{array}\)
Donc la série (\(\sum{f_{n}}\)) vérifie le critère de Cauchy uniforme, et elle converge uniformément sur \(I\).
On a en fait démontré la propriété plus forte suivante : (\(\sum|f_{n}|\)) converge uniformément.
En pratique, pour montrer la convergence uniforme d'une série de fonctions, on essaiera d'obtenir sa convergence normale. Lorsque c'est possible, cela permet de contourner le problème de trouver une expression simple du reste.
Exemple :
Exemple \(\left( \sum{\frac{z^{n}}{n!}} \right)\) sur \(\mathbb{C}\)
Soit \(f_{n} : \begin{array}{|r c l} \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ z & \mapsto & \frac{z^{n}}{n!} \end{array}\)
Etudions la convergence de la série \(\left( \sum{\frac{z^{n}}{n!}} \right)\).
Soit \(B_{R} = \Big\{ z \in \mathbb{C}, |z| \leq R \Big\}\). Alors, pour tout \(z\) de \(B_{R}, \left| f_{n}(Z) \right| \leq \frac{R^{n}}{n!}\).
Comme \(\left( \sum{\frac{R^{n}}{n!}} \right)\) converge vers \(exp(R)\), on en déduit que \(\left( \sum{\frac{z^{n}}{n!}} \right)\) est normalement convergente sur \(B_{R}\), donc uniformément convergente sur \(B_{R}\).
On note \(exp(z)\) sa limite : \(exp(z) = \overset{+\infty}{\underset{n=0}{\sum}} \frac{z^{n}}{n!}\).
Cette limite est définie sur \(B_{R}\) pour tout \(R > 0\), donc sur \(\mathbb{C}\). Elle prolonge sur \(\mathbb{C}\) la fonction exponentielle réelle.
Mais attention, la convergence n'est pas normale sur \(\mathbb{C}\) tout entier : \(\underset{z \in \mathbb{C}}{\textrm{sup}} \Big\{ \left| \frac{z^{n}}{n!} \right| \Big\} = +\infty\)
Récapitulons
Introduction
\(\begin{array}{r c l}\textrm{Convergence normale} & \Longrightarrow & \textrm{Convergence uniforme} \\\searrow & & \swarrow \\& \textrm{Convergence simple} &\end{array}\)
Toutes les réciproques sont fausses.
Nous avons déjà montré que la convergence simple n'entraîne pas la convergence uniforme, donc a fortiori la convergence normale. Il nous reste à vérifier que la convergence uniforme n'entraîne pas la convergence normale.
Exemple :
Exemple \(\left( \sum{\frac{(-1)^{n}}{x + n}} \right)\) sur \([0, 1]\)
La série \(\left( \sum{\frac{(-1)^{n}}{x + n}} \right)\) converge uniformément sur \([0, 1]\) (on applique la règle d'Abel uniforme).
\(\underset{x \in [0, 1]}{\textrm{max}} \left\{ \left| \frac{(-1)^{n}}{x + n} \right| \right\} = \frac{1}{n}\) et la série numérique \(\left( \sum{\frac{1}{n}} \right)\) est divergente, donc la série de fonctions \(\left( \sum{\frac{(-1)^{n}}{x + n}} \right)\) n'est pas uniformément convergente sur \([0, 1]\).