Exercice 2
Partie
Question
Soit la matrice
\(A=\displaystyle{\left(\begin{array}{cccccc}1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right)}\)
a) Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice A.
b) Donner la solution générale du système différentiel
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{llll}\textrm{d}x/{\textrm{d}t} & = & x+y \\\textrm{d}y/{\textrm{d}t} & = & 2x+y+2z \\ \textrm{d}z/{\textrm{d}t} & = & y+z\end{array}\right.}\)
c) Donner la solution générale du système différentiel
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{llll}\textrm{d}x/{\textrm{d}t} & = & x+y+t \\\textrm{d}y/{\textrm{d}t} & = & 2x+y+2z+\exp(2t) \\ \textrm{d}z/{\textrm{d}t} & = & y+z\end{array}\right.}\)
Solution détaillée
a)\(A=\displaystyle{\left(\begin{array}{cccccc}1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right)}\)
Le polynôme caractéristique de la matrice A est \(P(\lambda)=(1-\lambda)(\lambda^2-2\lambda-3)\) et les valeurs propres sont donc 1, -1 et 3.
Les vecteurs propres associés à ces valeurs sont respectivement
\(\displaystyle{V_1=\left[\begin{array}{cccccc}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right],V_2=\left[\begin{array}{cccccc}1 \\ -2 \\ 1\end{array}\right],V_3=\left[\begin{array}{cccccc}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right]}\)
b) Système \(\displaystyle{\left\{\begin{array}{llll}\textrm{d}x/{\textrm{d}t} & = & x+y \\\textrm{d}y/{\textrm{d}t} & = & 2x+y+2z \\ \textrm{d}z/{\textrm{d}t} & = & y+z\end{array}\right.}\)
Le système donné est de la forme \(X' = AX\), où \(A\) est la matrice donnée au début de l'exercice.
Sa solution générale est donc de la forme
\(X(t)=\alpha\exp(t)V_1+\beta\exp(-t)V_2+\gamma\exp(3t)V_3\)
soit encore
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{lll}x(t) = \alpha\exp(t)& + &\beta\exp(-t)+\gamma\exp(3t) \\y(t) = &-&2\beta\exp(-t)+2\gamma\exp(3t) \\z(t) = -\alpha\exp(t)&+&\beta\exp(-t)+\gamma\exp(3t)\end{array}\right.}\)
c) Système \(\displaystyle{\left\{\begin{array}{llll}\textrm{d}x/{\textrm{d}t} & = & x+y+t \\\textrm{d}y/{\textrm{d}t} & = & 2x+y+2z+\exp(2t) \\ \textrm{d}z/{\textrm{d}t} & = & y+z\end{array}\right.}\)
(on a rajouté un "second membre" au système précédent)
On commence par l'écrire sous la forme \(X'=AX+B_1(t)+B_2(t)\) , avec
\(\displaystyle{B_1(t)=\left[\begin{array}{cccccc}t \\ 0 \\ 0\end{array}\right],B_2(t)=\left[\begin{array}{ccc} 0 \\ \exp(2t) \\ 0\end{array}\right]}\)
On cherche une solution particulière de \(X'=AX+B_1(t)\) sous la forme
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{llll}x(t) & = & at+b \\y(t) & = & ct+d\\z(t) & = & et+f \end{array}\right.}\)
En reportant dans le sytème différentiel, on obtient des équations linéaires en \(a,b,..., f\).
On trouve
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{llll}x(t) & = & -\frac{1}{3}t-\frac{7}{9} \\y(t) & = & -\frac{2}{3}t+\frac{4}{9} \\z(t) & = & \frac{2}{3}t+\frac{2}{9} \end{array}\right.}\)
Ensuite, on cherche une solution particulière de \(X'=AX+B_2(t)\) , sous la forme
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{llll}x(t) & = & a\exp(2t) \\y(t) & = & b\exp(2t) \\z(t) & = & c\exp(2t)\end{array}\right.}\)
et on trouve \(a=b=c=-\frac{1}{3}\)
On regroupe ces deux solutions particulières, plus la solution générale de l'équation homogène, ce qui donne finalement
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{lll}x(t) = -\frac{1}{3}\exp(2t)-\frac{1}{3}t-\frac{7}{9}+\alpha\exp(t)+\beta\exp(-t)+\gamma\exp(3t) \\y(t) = -\frac{1}{3}\exp(2t)-\frac{2}{3}t-\frac{4}{9}-2\beta\exp(-t)+2\gamma\exp(3t) \\z(t) = -\frac{1}{3}\exp(2t)+\frac{2}{3}t+\frac{2}{9}-\alpha\exp(t)+\beta\exp(-t)+\gamma\exp(3t)\end{array}\right.}\)
(Ouf ! ! !)