Systèmes linéaires à coefficients constants

Système \(\displaystyle{\left\{\begin{array}{lll}\textrm{d}x/\textrm{d}t =-2x+ & y+ & \cosh(t) \\\textrm{d}y/\textrm{d}t= & 3y+ & \cos(t) \end{array}\right.}\)

a) La deuxième équation \(y' = 3y +\cos t\) est linéaire en y avec second membre. Sa solution générale est

En reportant cette valeur de \(y\) dans la première équation, on obtient une équation linéaire en \(x\) avec second membre :

Écrivons-la sous la forme \(x'=-2x+B_1(t)+B_2(t)+B_3(t)\)

avec \(B_1(t)=K\exp(3t),B_2(t)=\frac{1}{10}(\sin t-3\cos t),B_3(t)=\cosh t\)

L'équation homogène \(x'=-2x\) a pour solution générale \(x=L\exp(-2t)\)

L'équation \(x'=-2x+B_1(t)=-2x+K\exp(3t)\) a pour solution particulière \(x=_frac{K}{5}\exp(3t)\)

L'équation \(x'=-2x+B_2(t)\) a pour solution particulière \(x=-\frac{1}{50}(7\cos t+\sin t)\)

L'équation \(x'=-2x+B_3(t)\) a pour solution particulère \(x=\frac{1}{3}(2\cosh t-\sin ht)=\frac{1}{6}\exp(t)+\frac{1}{2}\exp(-t)\)

L'équation (2) a donc pour solution générale \(x=L\exp(-2t)+\frac{K}{5}\exp(3t)-\frac{1}{50}(7\cos t+\sin t)+\frac{1}{6}\exp(t)+\frac{1}{2}\exp(-t)\) où la constante \(K\) est la même que celle apparaissant dans la solution \(y(t)\) donnée au début.

b) Le système homogène \(\displaystyle{\left\{\begin{array}{llll}x' & = & -2x+y \\ y' & = & 3y\end{array}\right.}\) a pour matrice \(A=\displaystyle{\left(\begin{array}{cccccc}-2 & 1 \\0 & 3 \end{array}\right)}\)

Ses valeurs propres sont 3 et -2, avec pour vecteurs propres respectivement \(\displaystyle{\left[\begin{array}{cc}1/5 \\ 1\end{array}\right]}\) et \(\displaystyle{\left[\begin{array}{ll}1 \\ 0\end{array}\right]}\)

Une base de solutions du système homogène est donc \(U(t),V(t)\) avec \(\displaystyle{U(t)=\exp(3t)\left[\begin{array}{cc}1/5 \\ 1\end{array}\right],V(t)=\exp(-2t)\left[\begin{array}{cc}1 \\ 0\end{array}\right]}\)

On cherche une solution du système avec second membre, sous la forme \(X(t) = r(t)U(t) + s(t)V(t)\), soit \(\displaystyle{\left\{\begin{array}{llll}x & = & \frac{r(t)}{5}\exp(3t)+s(t)\exp(-2t)\\y & = & r(t)\exp(3t)\end{array}\right.}\)

En reportant \(x,y,x',y'\) dans le système initial, on voit que\( r(t)\) et \(s(t)\) doivent vérifier \(\displaystyle{\left\{\begin{array}{lllll}\frac{1}{5}r'(t)\exp(3t)+s'(t)\exp(-2t)&=&\cosh t\\r'(t) \exp(3t)&=&\cos t\end{array}\right.\quad (3)}\)

On résout d'abord la deuxième équation, ce qui donne \(r(t)=\in t\exp(-3t)\cos t\textrm{d}t=\frac{1}{10}\exp(-3t)(\sin t-3\cos t)+K\) donc \(r(t)=\in t\exp(-3t)\cos t\textrm{d}t=\frac{1}{10}\exp(-3t)(\sin t-3\cos t)+K\)

On retrouve bien la solution trouvée au a) .

Par ailleurs dans la première ligne de (3), on peut remplacer \(r'(t) \exp(3t)\) par \(\cos(t)\), ce qui donne \(s'(t)=\exp(2t)\cosh(t)-\frac{1}{5}\exp(2t)\cos t=\frac{1}{2}(\exp(3t)+\exp(t))-\frac{1}{5}\exp(2t)\cos t\) d'où \(s(t)=\frac{1}{2}\in t\exp(3t)\textrm{d}t+\frac {1}{2}\in t\exp t\textrm{d}t-\frac{1}{5}\in t\exp(2t)\cos t\textrm{d}t+L\) soit encore \(s(t)=\frac{1}{6}(3t)+\frac{1}{2}\exp t-\frac{1}{5}(2\cos t+\sin t)+L\) et on vérifie qu'on retrouve pour \(x=\frac{r(t)}{5}\exp(3t)+s(t)\exp(-2t)=\frac{1}{5}y(t)+s(t)\exp(-2t)\) la valeur trouvée au a).