Exercice 1 [Portraits de phase et points stationnaires]

Exercice 1

Partie

Question

Pour chacun des systèmes ci-dessous,

Déterminer les points critiques, et les isoclines^[1] horizontale et verticale
Régionner le plan suivant le signe de \(x'\) et de \(y'\)
Essayer de faire un dessin du portrait de phase^[2] du système donné compatible avec ce qui précède. Réfléchir aux questions auxquelles l'étude ci-dessus ne permet pas de répondre.
Pour chaque point stationnaire^[3], calculer son linéarisé^[4]; déterminer la nature (col^[5], foyer^[6], ...) de ce linéarisé, et esquisser son portrait de phase. Précisez alors le portrait de phase du système donné dans l'énoncé.

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{lllll}\textrm{d}x/\textrm{d}t & = & x^2+y^2-17 \\ \textrm{d}y/\textrm{d}t & = & 4-xy\end{array}\right.}\)

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{lllll}\textrm{d}x/\textrm{d}t & = & x-y \\ \textrm{d}y/\textrm{d}t & = & xy-1\end{array}\right.}\)

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{llll}\textrm{d}x/\textrm{d}t & = & y \\ \textrm{d}y/\textrm{d}t & = & -5\sin x-3y\end{array}\right.}\)

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{lll}\textrm{d}x/\textrm{d}t & = & x(1-x-y) \\ \textrm{d}y/\textrm{d}t & = & y(2-x)\end{array}\right.}\)

Solution détaillée

La figure ci-dessous fournit, pour les 4 systèmes proposés, le régionnement d'une partie du plan selon les signes de \(x'\) et de \(y'\). En cliquant sur cette figure, vous pouvez faire apparaître suffisamment de solutions pour avoir une idée précise du portrait de phase.

Vous trouverez en dessous, pour chaque système, les calculs qui permettent de déterminer la nature de chaque point stationnaire.

AppletSystemeRegionCorrige.param [param]

Le système

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{lllll}\textrm{d}x/\textrm{d}t & = & x^2+y^2-17 \\ \textrm{d}y/\textrm{d}t & = & 4-xy\end{array}\right.}\)

admet quatre points stationnaires : A(1, 4) ; B(4, 1) ; C( -1, -4); D(-4, -1).

La matrice jacobienne est \(\displaystyle{\left(\begin{array}{cccccc}2x & 2y\\-y & -x\end{array}\right)}\)

Au point A, elle vaut donc \(\displaystyle{\left(\begin{array}{cccccc}2 & 8\\-4 & -1\end{array}\right)}\)

Son polynôme caractéristique étant \(\lambda^2-\lambda+30\), dont les racines sont complexes, de partie réelle positive.

Le point A est donc un foyer répulsif.

Au point B, elle vaut \(\displaystyle{\left(\begin{array}{cccccc}8 & 2\\-1 & -4\end{array}\right)}\)

Son polynôme caractéristique est \(\lambda^2-4\lambda-30\), dont les racines sont réelles de signe contraire : le point B est donc un col.

On trouve de même que le point C est un foyer attractif, et que le point D est un col.

Le système \(\displaystyle{\left\{\begin{array}{lllll}\textrm{d}x/\textrm{d}t & = & x-y \\ \textrm{d}y/\textrm{d}t & = & xy-1\end{array}\right.}\) admet deux points stationnaires : A(1, 1) et B(-1, -1).

La matrice jacobienne est \(\displaystyle{\left(\begin{array}{cccccc}1 & -1\\y & x\end{array}\right)}\)

Au point A, elle vaut \(\displaystyle{\left(\begin{array}{cccccc}1 & -1\\1 & 1\end{array}\right)}\)

Son polynome caractéristique \(\lambda^2-2\lambda+2\) dont les racines sont complexes, de partie réelle positive.

Le point A est donc un foyer répulsif.

Au point B, elle vaut \(\displaystyle{\left(\begin{array}{cccccc}1 & -1\\-1 & -1\end{array}\right)}\)

Son polynome caractéristique \(\lambda^2-2\) dont les racines sont réelles de signes contraires.

Le point B est donc un col.

Le système \(\displaystyle{\left\{\begin{array}{lllll}\textrm{d}x/\textrm{d}t & = & y \\ \textrm{d}y/\textrm{d}t & = & -5\sin x-3y\end{array}\right.}\) admet une infinité de points stationnaires \((n\pi, 0)\).

Si n est pair, la matrice jacobienne vaut \(\displaystyle{\left(\begin{array}{cccccc}0 & 1\\-5 & -3\end{array}\right)}\)

Son polynôme caractéristique est \(\lambda^2+3\lambda+5\), dont les racines sont complexes, de partie réelle négative.

Le point est donc un foyer attractif.

Si n est impair, la matrice jacobienne vaut \(\displaystyle{\left(\begin{array}{cccccc}0 & 1\\5 & -3\end{array}\right)}\)

Son polynôme caractéristique est \(\lambda^2+3\lambda-5\), dont les racines sont réelles de signes contraires.

Le point est donc un col.

Le système \(\displaystyle{\left\{\begin{array}{lllll}\textrm{d}x/\textrm{d}t & = & x(1-x-y) \\ \textrm{d}y/\textrm{d}t & = & y(2-x)\end{array}\right.}\) admet trois points stationnaires A(0, 0), B(1, 0) et C(2, -1).

Au point A, la jacobienne est \(\displaystyle{\left(\begin{array}{cccccc}1 & 0\\0 & 2\end{array}\right)}\), dont les valeurs propres sont bien sûr 1 et 2, donc réelles positives : le point A est un nœud répulsif.

On montre, toujours en calculant les valeurs propres des jacobiennes, que le point B est un col, et le point C un foyer attractif.

Notes

Isoclines
Soit
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=f(x,y) \\ y'=g(x,y)\end{array}\right.}\)
un système autonome de dimension 2. Pour tout réel \(p\), on appelle isocline de pente \(p\) l'ensemble des points \((x,y)\) tels \(g(x,y) =p f (x,y)\) .
L'isocline horizontale est l'isocline de pente \(p = 0\). L'isocline verticale est l'ensemble des points \((x,y)\) tels que \(f (x,y) = 0\).
Portrait de phases
Ensemble des trajectoires d'un système différentiel autonome.
Point stationnaire
Soit un système différentiel autonome de la forme
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ccc}x'_1 & = & f_1(x_1,...,x_n) \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ x'_n & = & f_n(x_1,...,x_n) \end{array}\right.}\)
Un point stationnaire de ce système est un point \(M=(a_1,...,a_n)\) de \(R^n\) tel que
\(f_1(a_1,...,a_n)=...=f_n(a_1,...,a_n)=0\)
La fonction constante qui à tout \(t\) associe le point \(M\) est une solution du système : le point \(M\) est donc une trajectoire à lui tout seul.
Linéarisation
Voir la page Observer / Linéarisation / Principe de linéarisation.
Col
Etant donné un système linéaire de dimension 2, de la forme
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=ax+by \\ y'=cx+dy\end{array}\right.}\)
on dit que le point stationnaire à l'origine est un col si les valeurs propres de la matrice \(\displaystyle{\left(\begin{array}{cc}a&b \\ c&d\end{array}\right)}\)
sont réelles non nulles, de signes opposés.
Soit \(M\) un point stationnaire d'un système autonome de dimension 2. On dit que \(M\) est un col si le linéarisé du système au point \(M\) possède un col à l'origine.
Foyer
Etant donné un système linéaire de dimension 2 de la forme
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=ax+by \\ y'=cx+dy\end{array}\right.}\)
on dit que le point stationnaire à l'origine est un foyer si la matrice \(\displaystyle{\left(\begin{array}{cc}a&b \\ c&d\end{array}\right)}\) possède deux valeurs propres complexes conjuguées, qui ne sont ni réelles, ni imaginaires pures.
On dit que le foyer est attractif si la partie réelle commune des deux valeurs propres est négative, répulsif si cete partie réelle est positive. Les trajectoires sont des spirales autour de l'origine \(O\), parcourues vers \(O\) si le foyer est attractif, depuis \(O\) s'il est répulsif.
Soit \(M\) un point stationnaire d'un système autonome de dimension 2. On dit que \(M\) est un foyer si le linéarisé du système au point \(M\) possède un foyer à l'origine.