Exercice 3 [Portraits de phase et points stationnaires]

Exercice 3

Partie

Question

On considère le système

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{lll}x' & = & \alpha x-y \\ y' & = & y-x^2+x\end{array}\right.}\)

Trouver les isoclines^[1] horizontale et verticale. Régionner le plan suivant les signes de x' et y'; on distinguera les cas \(\alpha < -1\) et \(\alpha > -1\).

Trouver les points stationnaires^[2] et leurs linéarisés^[3]. Etudier, en fonction de \(\alpha\) la nature de ces points stationnaires.

Tracer le portrait de phase^[4] pour \(\alpha = -2\), \(\alpha = 0\) et \(\alpha = -1\).

Solution détaillée

Notes

Isoclines
Soit
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=f(x,y) \\ y'=g(x,y)\end{array}\right.}\)
un système autonome de dimension 2. Pour tout réel \(p\), on appelle isocline de pente \(p\) l'ensemble des points \((x,y)\) tels \(g(x,y) =p f (x,y)\) .
L'isocline horizontale est l'isocline de pente \(p = 0\). L'isocline verticale est l'ensemble des points \((x,y)\) tels que \(f (x,y) = 0\).
Point stationnaire
Soit un système différentiel autonome de la forme
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ccc}x'_1 & = & f_1(x_1,...,x_n) \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ x'_n & = & f_n(x_1,...,x_n) \end{array}\right.}\)
Un point stationnaire de ce système est un point \(M=(a_1,...,a_n)\) de \(R^n\) tel que
\(f_1(a_1,...,a_n)=...=f_n(a_1,...,a_n)=0\)
La fonction constante qui à tout \(t\) associe le point \(M\) est une solution du système : le point \(M\) est donc une trajectoire à lui tout seul.
Linéarisation
Voir la page Observer / Linéarisation / Principe de linéarisation.
Portrait de phases
Ensemble des trajectoires d'un système différentiel autonome.