Exercice 3

Partie

Question

On considère le système

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{lll}x' & = & \alpha x-y \\ y' & = & y-x^2+x\end{array}\right.}\)

Trouver les isoclines[1] horizontale et verticale. Régionner le plan suivant les signes de x' et y'; on distinguera les cas \(\alpha < -1\) et \(\alpha > -1\).

Trouver les points stationnaires[2] et leurs linéarisés[3]. Etudier, en fonction de \(\alpha\) la nature de ces points stationnaires.

Tracer le portrait de phase[4] pour \(\alpha = -2\), \(\alpha = 0\) et \(\alpha = -1\).

Solution détaillée

Nous étudions le système

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{lll}x' & = & \alpha x-y \\ y' & = & y-x^2+x\end{array}\right.}\)

L'isocline horizontale est la parabole d'équation \(y = x^2 - x\)

L'isocline verticale est la droite d'équation \(y = \alpha x\).

Les points stationnaires sont à leur intersection. On trouve l'origine 0 et le point A(\(\alpha + 1\), \(\alpha^2 + \alpha\))

La matrice jacobienne \(\displaystyle{J=\left(\begin{array}{cc}\alpha & -1\\1-2x & 1\end{array}\right)}\) vaut \(\displaystyle{J_0=\left(\begin{array}{cc}\alpha & -1\\1 & 1\end{array}\right)}\) à l'origine et \(\displaystyle{J_A=\left(\begin{array}{cc}\alpha & -1\\-2\alpha-1 & 1\end{array}\right)}\)

Nature du point stationnaire à l'origine :

Le polynôme caractéristique de J0 est \(\lambda^2 - (\alpha + 1)\lambda + \alpha + 1\)

  • Si \(\alpha < -1\), elles sont réelles de signe contraire : l'origine est un col.

  • Si \(-1 < \alpha < 3\), elles sont complexes de partie réelle positive : l'origine est un foyer répulsif.

  • Si \(\alpha > 3\), elles sont rélles positives : l'origine est un nœud répulsif.

Nature du point stationnaire A :

Le polynôme caractéristique de JA est \(\lambda^2 - (\alpha + 1)\lambda - \alpha + 1\)

  • Si \(\alpha > -1\), elles sont réelles de signe contraire : le point A est un col.

  • Si \(-5 < \alpha < -1\), elles sont complexes de partie réelle négative : le point A est un foyer attractif.

  • Si \(\alpha < -5\), elles sont réelles négatives : le point A est un nœud attractif.

Sur la figure ci-dessous, vous pouvez voir le portrait de phases et son évolution lorsque \(\alpha\) varie.

Appletcor3exo3.param [param]

Remarque :

Pour \(\alpha = -1\), les deux points stationnaires sont confondus. Dans ce cas, on peut vérifier que, comme dans l'exercice précédent, le portrait de phase du système ne ressemble pas à celui de son linéarisé.