Exercice 2
Partie
Question
Intégrer le système différentiel ci-dessous, et tracer son portrait de phase[1] :
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{lllll}\textrm{d}x/\textrm{d}t & = & x^2 \\ \textrm{d}y/\textrm{d}t & = & -y\end{array}\right.}\)
(Remarquer qu'il s'agit en réalité de deux équations indépendantes).
Vérifier que l'origine est le seul point stationnaire[2]. Trouver son linéarisé[3], intégrer ce linéarisé et tracer son portrait de phase.
Quelles sont les valeurs propres du linéarisé ? Le comportement du système au voisinage de l'origine ressemble-t-il à celui de son linéarisé ?
Solution détaillée
Pour résoudre le système
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{lllll}\textrm{d}x/\textrm{d}t & = & x^2 \\ \textrm{d}y/\textrm{d}t & = & -y\end{array}\right.}\)
résolvons indépendamment chaque équation :
L'équation \(\textrm{d}x/\textrm{d}t = x^2\) est une équation à variables séparables. Ses solutions sont de la forme \(\displaystyle{x=\frac{-1}{t-C}}\), définies soit pour t>C, soit pour t<C.
L'équation \(\textrm{d}y/\textrm{d}t = -y\) admet pour solutions \(y = D \textrm{exp}(-t)\), définies pour tout \(t\).
Le portrait de phase du système est formé des courbes paramétrées \(\displaystyle{\left(x=\frac{-1}{t-C},y=D\textrm{e}^{-t}\right)}\)
Vous pouvez les voir ci-dessous.
Le seul point stationnaire est l'origine (0, 0). La matrice jacobienne à l'origine est \(\displaystyle{\left(\begin{array}{cccccc}0 & 0\\0 & -1\end{array}\right)}\)
Le système linéarisé à l'origine s'écrit donc \(\displaystyle{\left\{\begin{array}{llll}x' & = & 0 \\ y' & = & -y\end{array}\right.}\)
Ses solutions sont (x = C, y = D exp(-t) ), et ses trajectoires sont des demi-droites verticales.
Les trajectoires du système initial au voisinage de l'origine ne ressemblent pas à celles du linéarisé. Comme l'une des valeurs propres de la jacobienne est nulle, on n'est pas dans le cas où le principe de linéarisation peut s'appliquer.