Association de générateurs

Position du problème

De même que pour simplifier la résolution des problèmes, on a remplacé un réseau de conducteurs ohmiques par un dipôle équivalent unique, on va chercher à remplacer un ensemble de générateurs par un seul générateur, équivalent à l'ensemble.

Association de générateurs en série

Dans ce cas, il est souhaitable d'utiliser le modèle de Thévenin. A vide, aucun courant ne circule dans les trois dipôles et :

Pour le générateur équivalent, à vide :

(V_A - V_D) = E

D'où :

E = E_1 + E_2 + E_3

Si on relie A et D par un court circuit, les trois dipôles sont parcourus par le même courant d' intensité I_0 ; donc:

(V_A -V_D) = (V_A - V_B) + (V_B - V_C) + (V_C - V_D)

0 = (E_1 - r_1.I_0) + (E_2 - r_2.I_0) + (E_3 - r_3.I_0)

0 = E_1 + E_2 + E_3 -( r_1+r_2+r_3) I_0

D'où:

I_0=\frac{E_1+E_2+E_3}{r_1+r_2+r_3}=\frac{E}{r_1+r_2+r_3}

Pour le générateur équivalent, en court circuit :

I_0 = \frac{E}{r}

D'où : r = r_1 + r_2 + r_3

Si l'un des générateurs avait été branché en sens inverse (on dit en opposition), la différence de potentiel à vide entre ses bornes aurait été égale à l'opposé de sa f.é.m.

En conclusion :

  • pour la partie active du générateur équivalent, les f.é.m. s'ajoutent en valeur algébrique; elles sont comptées positivement quand elles tendent à faire remonter le potentiel dans le sens A \rightarrow B, négativement quand elles tendent à faire remonter le potentiel dans le sens B \rightarrow A.

  • pour la partie passive du générateur équivalent, les résistances internes s'ajoutent, que les générateurs soient montés en série ou en opposition.

Association de générateurs en série

Des générateurs associés en série sont équivalents à un générateur unique, dont la f.é.m. a pour valeur la somme algébrique des f.é.m. des générateurs associés, et dont la resistance interne est la somme des résistances internes.

E_{eq}=\sum_nE_n\textrm{ (somme algébrique) }

r_{eq}=\sum_nr_n

Association de générateurs en parallèle

Dans ce cas, on utilise le modèle de Norton.

Si l'on relie A et B par un court circuit, la totalité du courant débité par les deux sources idéales de courant passe dans ce court circuit. Le courant maximum débité par le générateur équivalent a donc pour valeur :

I_0 = I_1 + I_2

puisque dans l'exemple étudié, les deux générateurs débitent dans le même sens; sinon, il aurait fallu choisir un sens positif et faire la somme algébrique.

A vide la différence de potentiel entre A et B est, pour l'association des deux générateurs :

U=\frac{I_1+I_2}{g_1+g_2}

et, pour le générateur équivalent :

U=r.I_0=\frac{I_0}{g}

d'où :

g = g_1 + g_2

Association de générateurs en parallèle

I_0=\sum_nI_n\textrm{ (somme algébrique) }

g=\sum_ng_n

La conductance du générateur équivalent à une association en parallèle est égale à la somme des conductances des générateurs associés; autrement dit, sa résistance interne est égale à la résistance équivalente aux deux résistances associées en parallèle. En conclusion, du point de vue actif, les courants s'ajoutent de façon algébrique; du point de vue passif, les conductances s'additionnent.