Etude d'un réseau (1)

Durée : 10 mn

Note maximale : 8

Question

On considère un réseau fentes de largeur \(a\) distantes de centre à centre de \(d\). On éclaire ce réseau par un faisceau d'ondes planes monochromatiques de longueur d'onde \(l\) sous incidence normale. Ce faisceau couvre \(N\) fentes. On définit la largeur angulaire comme la largeur correspondant à l'angle entre les deux positions d'intensité nulle de chaque côté du maximum de la raie.

  1. Donner l'expression littérale qui permet de déterminer l'ordre maximal observable.

  2. Le pas "\(d\)" du réseau est de \(900 \mathrm{ nm}\), la longueur d'onde "\(l\)" vaut \(600 \mathrm{\mu m}\). Evaluer le nombre total de raies diffractées en incluant la raie centrale.

  3. Evaluer la largeur angulaire de la raie spectrale centrale (expression littérale).

  4. Evaluer la largeur angulaire de la raie spectrale d'ordre \(1\) (expression littérale).

Solution

  1. La condition pour obtenir un maximum principal d'ordre \(m\) dans la direction \(i\) est \(d . \sin(i) = m.l\).

    La valeur maximum de \(m\) s'obtient pour la valeur maximum de \(\sin(i)\) . Ce qui conduit à l'expression littérale : \(m = \frac{d}{l}\) . (2pts)

  2. L'application numérique de l'expression précédente fournit \(m=1\). Nous pouvons observer 3 raies (ordre \(0\) et \(\pm 1\)). (2pts)

  3. Soit \(i'\) la direction d'un minimum voisin immédiat du maximum d'ordre \(m\).

    \(\sin(i') = \left( m +\frac{1}{N} \right) \frac{l}{d}\) soit \(\sin(i) - \sin(i') = \frac{l}{N.d}\).

    Soit encore du fait de la faible différence des deux sinus : \(\Delta i . \cos(i) = \frac{l}{N.d}\) et \(\cos(i) = \left(1-\frac{d^2}{l^2}.m^2\right)^{1/2}\)

    La raie centrale est d'ordre \(0\). Sa largeur angulaire est \(2 \Delta i\) , soit \(2*\frac{l}{d.N}\). (2pts)

  4. La largeur angulaire de la raie d'ordre \(1\) est \(2*\frac{l}{N\left(d^2-l^2\right)^{1/2}}\). (2pts)