Généralités. Conditions d'interférences

Considérons une grandeur physique représentée par une fonction scalaire s se propageant dans une direction repérée par un axe \(Oz\). Cette grandeur \(s\) peut se mettre sous la forme :

\(s = a \cos(\omega(t - \frac{z}{v}) +\Phi_0)\) où les paramètres qui caractérisent l'onde sont :

\(\omega\) = pulsation unité : \(\mathrm{rd . s}^{-1}\)

\(a\) = amplitude de l'onde \((a > 0)\) unité : celle de la grandeur physique

\(v\) = vitesse de propagation unité : \(\mathrm{m. s}^{-1}\)

\(\Phi_0\) = phase de l'onde à l'origine \((z = 0)\) unité : \(\mathrm{rd}\)

Ce paramètre dépend de la manière dont on choisit l'origine des temps: le plus souvent on prendra: \(\Phi_0 = 0\)

L'onde est dite sinusoïdale, se propageant suivant l'axe \(Oz\), dans le sens des valeurs croissantes de \(z\) . En effet le point \(M\) repéré par sa côte \(z\) est atteint par l'onde après être passé par le point origine \(z = 0\), c'est-à-dire avec un retard : \(t_0 = \frac{z}{v}\)

Si l'on exprime \(s\) sous la forme : \(s = a \cos(\omega(t + \frac{z}{v} + \Phi_0))\) l'onde sinusoïdale progressive se déplace dans le sens des valeurs décroissantes de \(z\) .

On définit aussi les grandeurs suivantes:

C'est l'intervalle de temps le plus court pour lequel le phénomène se reproduit identiquement à lui-même en un point \(M_0\) donné : \(s( t+T, M_0) = s(t,M_0)\)

Cette relation se traduit, dans le cas d'une onde sinusoïdale, au point \(M_0\), repéré par sa côte \(z_0\) , par :

\(s = a \cos[\omega (t + T - \frac{z_0}{v}) + \Phi_0] = a \cos [\omega (t - \frac{Z_0}{V}) + \Phi_0]\)

Cette égalité n'est vérifiée que si :

\(\omega T = 2 \pi\) (à  \(2 k \pi\) près ) car \(\cos(A + 2\pi) = \cos A\)

d'où  \(T = \frac{2\pi}{\omega}\) unité: seconde \(\mathrm{ (s) }\);

on écrit aussi \(T = \frac{1}{v}\) unité: \(\mathrm{s}^{-1} \)où \(v\) est la fréquence de l'onde

Soient \(M\) et \(M'\) deux points de côtes \(z\) et \(z'\) atteints par l'onde à l'instant \(t_0\) . Leurs états vibratoires seront représentés par :

\(s(M) = a \cos(\omega(t_0 - \frac{z}{v}) + \Phi_0)\)

\(s(M') = a \cos(\omega(t_0 - \frac{z'}{v}) + \Phi_0)\)

Appelons \(\lambda\) la plus courte distance qui sépare \(M\) et \(M'\) telle que: \(s(t_0, z) = s(t_0, z + \lambda)\)

en remplaçant \(s\) par son expression: \(a \cos(\omega(t_0 - \frac{z}{v}) + \Phi_0) = a \cos(\omega(t_0 - (z+\lambda)/v) + \Phi_0)\)

on en déduit :

\(\omega . \frac{z}{v} = \omega \frac{z + \lambda}{v} + 2 \pi\)

\(\omega . \frac{\lambda}{v} = 2 \pi \Rightarrow \lambda = \frac{2 \pi}{\omega} . v\)

et \(\lambda = v . T\)

La longueur d'onde dépend de la vitesse de propagation dans le milieu.

Lorsque la grandeur physique qui se propage est vectorielle, l'onde associée est sinusoïdale progressive dans la direction \(O_z\) si chaque composante \(s_x\) , \(s_y\) et \(s_z\) de la grandeur vectorielle \(S\) s'écrit : \(\vec S = s_x . \vec e_x + s_y . \vec e_y + s_z . \vec e_z\)

\(\vec S = a_x . \cos (\omega (t - \frac{z}{v}) + \Phi_{0x}) . \vec e_x\)

\(+ a_y . \cos (\omega (t - \frac{z}{v}) + \Phi_{0x}) . \vec e_y\)

\(+ a_z . \cos (\omega (t - \frac{z}{v}) + \Phi_{0x}) . \vec e_z\)

\(\vec e_x, \vec e_y, \vec e_z\) forment une base que l'on choisira de préférence orthonormée.