Puissance - Travail - Energie

Considérons une force appliquée en un point \(M\) décrivant une trajectoire (\(C\)) avec une vitesse instantanée dans un référentiel [\(R\)].

On appelle puissance instantanée de la force \(\displaystyle{\overrightarrow F}\) dont le point d'application se déplace avec une vitesse instantanée \(\displaystyle{\overrightarrow v}\) dans le référentiel [\(R\)], la grandeur scalaire:

\(\displaystyle{P(t)=\overrightarrow F.\overrightarrow v}\)

On définit également la puissance moyenne sur une durée \(T\) comme la valeur moyenne pendant la durée \(T\) de la puissance instantanée:

\(\displaystyle{\overrightarrow P=\frac{1}{T}\int_0^TP(t)dt}\)

L'équation aux dimensions d'une puissance est \([\textrm{P}] = \textrm{M L}^2 \textrm{T}^{-3}\)

L'unité de puissance dans le système international S.I. est le WATT (W). La définition du Watt est donnée au paragraphe suivant.

On appelle travail élémentaire de la force pendant l'intervalle de temps \(dt\) infiniment petit , la quantité scalaire:

\(\displaystyle{P(t)dt=\overrightarrow F.\overrightarrow vdt}\)

Le vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{dl}=\overrightarrow vdt}\) est porté par la vitesse , donc tangent à la trajectoire; on l'appelle déplacement élémentaire de \(M\) pendant l'intervalle de temps \(dt\).

Il en résulte une autre définition du travail élémentaire, utilisée dans le sous-chapitre 3 de Représentations mathématiques de notions physiques.

L'équation aux dimensions d'un travail est \([\textrm{W}]= \textrm{M L}^2 \textrm{T} ^{-2}\)

L'unité S.I. de travail est le JOULE (J).

Un travail de 1 Joule est le travail d'une force de 1 Newton dont le point d'application se déplace de 1 m dans la direction de la force.

La définition de l'unité de puissance, le Watt, en résulte: une puissance de 1 Watt est la puissance d'une force fournissant un travail de 1 Joule pendant 1 seconde.

Lorsque le point d'application \(M\) de la force subit un déplacement de longueur finie de \(M_1\) à \(M_2\) sur une courbe quelconque (\(C\)), la force prenant en chaque point\( M\) de la courbe (\(C\)) des valeurs variables en norme et en direction, le travail de \(M_1\) à \(M_2\) est la somme des travaux élémentaires le long de tous les éléments de la courbe (\(C\)) ; cette intégrale s'appelle la circulation du vecteur de \(M_1\) à \(M_2\) le long de la courbe (\(C\)), on a donc :

\(\displaystyle{\textrm{W}=\int_{M_1}^{M_2}\overrightarrow F.\overrightarrow{dl}}\)

Pour calculer cette intégrale, dite curviligne, il faut connaître l'équation de la courbe (\(C\)) et la valeur de la force en chaque point de (\(C\)). \(\displaystyle{\overrightarrow F}\) peut être une force unique dont le point d'application se déplace ou être un champ de forces résultant d'interaction à distance.

Ces notions sont étudiées dans le sous-chapitre 3 de Représentations mathématiques de notions physiques.

Soit un système de points \(M_i\). A un instant \(t\), soit \(\displaystyle{\overrightarrow F_i}\) la force appliquée en \(M_i\) , le point \(M_i\) ayant une vitesse \(\displaystyle{\overrightarrow v_i}\) dans un référentiel [\(R\)]. Pendant l'intervalle de temps \(dt\), le point d'application \(M_i\) de la force subit un déplacement \(\displaystyle{\overrightarrow{dl}=\overrightarrow v_idt}\).

Le travail élémentaire de la force\( \displaystyle{\overrightarrow F_i}\) pendant \(dt\) est \(\displaystyle{\overrightarrow F_i.\overrightarrow{dl_i}}\)

Le travail du système de forces, de l'instant \(t\) à l'instant \(t + dt\), est la somme scalaire des travaux élémentaires de chacune des forces pendant l'intervalle de temps \(dt\)

\(\displaystyle{\sum_{i=1}^N\overrightarrow F_i.\overrightarrow{dl_i}}\)

Cas particuliers:

1.  Les déplacements de tous les points \(M_i\) sont équipollents, cela s'écrit:

   \(\displaystyle{\overrightarrow{dl_i}=\overrightarrow{dl}\quad\forall i}\)

   Par suite le travail élémentaire de toutes les forces est:

   \(\displaystyle{(\sum_{i=1}^N\overrightarrow F_i).\overrightarrow{dl}=\overrightarrow F.\overrightarrow{dl}}\)

   où \(\displaystyle{\overrightarrow F}\)est la résultante des forces appliquées.

   Le travail d'un système de forces dont les points d'applications subissent tous le même déplacement est égal au travail de la résultante des forces au cours du même déplacement. On peut rencontrer un tel exemple dans le cas d'un système indéformable en translation.

2. Toutes les forces appliquées aux points \(M_i\) sont égales (équipollentes); cela s'écrit:

   \(\displaystyle{\overrightarrow F_i=\overrightarrow F\quad\forall_i}\)

   Le travail élémentaire de toutes ces forces est:\( \displaystyle{\overrightarrow F.\sum_{i=1}^N\overrightarrow{dl_i}}\)

   Le travail élémentaire est égal au travail de l'une de forces sur un déplacement égal à la somme vectorielle de tous les déplacements de tous les points \(M_i\) .

   Conséquences :

   Considérons un système de points matériels \(M_i\) de centre de masse \(G\) et supposons qu'une force soit appliquée à chaque point \(M_i\) . Sauf cas particuliers, le travail du système de forces est différent du travail de la résultante des forces appliquée au centre de masse. Notamment la résultante des forces peut être nulle et le travail de toutes les forces non nul. Par exemple le travail des forces intérieures à un système matériel peut ne pas être nul, alors que l'on sait que la résultante des forces intérieures est nulle.