Énergie potentielle
La fonction énergie potentielle
Si l'on considère une particule \(p\) située en \(M\) et soumise à un champ de forces \(\displaystyle{\overrightarrow F(M)}\) indépendant du temps, on dit que ce champ dérive d'un potentiel s'il existe une fonction scalaire \(U(M)\) telle que
\(\displaystyle{\overrightarrow F(M)=-\overrightarrow{\textrm{grad}}U(M)}\).
Envisageons un déplacement élémentaire \(\displaystyle{\overrightarrow{dl}}\) de \(M\) à \(M'\); dans ce champ, le travail élémentaire de la force est alors: \(\displaystyle{\overrightarrow F.\overrightarrow dl}\)
Or, \(\displaystyle{dU=\overrightarrow{\textrm grad}U.\overrightarrow{dl}=-\overrightarrow F.\overrightarrow{dl}}\)
Au cours d'un déplacement fini d'un point 1 à un point 2, on obtient:
\(\displaystyle{{W_1}^2=U_1-U_2}\)
La variation du potentiel scalaire au cours d'un déplacement fini est égale et de signe opposé au travail de la force.
Le travail sur un chemin ouvert ne dépend que du point de départ et du point d'arrivée et est nul sur un contour fermé. Un tel champ est un champ de forces conservatif.
Pour un déplacement élémentaire, le travail de la force est l'opposé de la différentielle de l'énergie potentielle:
\(\displaystyle{\overrightarrow F.\overrightarrow{dl}=-dU=-\overrightarrow{grad}U.\overrightarrow dl}\)
Remarque:
Le travail de la force opposée au champ dépend du contour (\(C\)) entre \(M_1\) et \(M_2\); lorsque le champ est un champ de gradients, ce travail dépend du bi-point (\(M_1\), \(M_2\)) : seules interviennent les valeurs des points de départ et d'arrivée. La variation\( \Delta U\) est la même pour tout un ensemble de fonctions de points et n'importe quel élément de cet ensemble de fonctions donne le même travail.
On appelle énergie potentielle de la particule \(p\) associée au champ de forces un élément quelconque de cet ensemble qui n'est définie qu'à une constante additive près.
La fonction énergie potentielle est la fonction scalaire \(M \emptyset U(M)\) qui prend la valeur nulle pour un point \(M_0\) particulier.
La simulation suivante représente le travail d'une force dérivant d'un potention scalaire \(U\).
Champs de forces conservatif
La condition pour qu'un champ dérive d'un potentiel est la condition pour qu'un vecteur champ soit un vecteur gradient. Plaçons-nous en coordonnées cartésiennes et supposons que \(\displaystyle{\overrightarrow F(M)=-\overrightarrow{grad} U(M)}\) , d'où
\(\displaystyle{-\frac{\delta U}{\delta x}=F_x,\quad-\frac{\delta U}{\delta y}=F_y \textrm{ et }-\frac{\delta U}{\delta z}=F_z}\)
On peut alors vérifier les égalités suivantes :
\(\begin{array}{ccc}A&=&\frac{\delta F_z}{\delta y}-\frac{\delta F_y}{\delta z}=\frac{\delta^2U}{\delta y\delta z}-\frac{\delta^2U}{\delta z\delta y}=0\\\\ B&=&\frac{\delta F_x}{\delta z}-\frac{\delta F_z}{\delta x}=\frac{\delta^2U}{\delta x\delta z}-\frac{\delta^2U}{\delta z\delta x}=0\\\\ C&=&\frac{\delta F_y}{\delta x}-\frac{\delta F_x}{\delta y}=\frac{\delta^2U}{\delta x\delta y}-\frac{\delta^2U}{\delta y\delta x}=0\end{array}\)
Ces relations sont appelées également Conditions de Schwartz.
Par définition, le vecteur dont les composantes sont \(A, B, C\) est le rotationnel de \(\displaystyle{\overrightarrow F(M)}\).
On le note\( \displaystyle{\overrightarrow{Rot}\;\overrightarrow F}\). Il est nul si \(\displaystyle{\overrightarrow F(M)}\) est un champ de gradients.
La condition pour qu'un champ de forces soit conservatif est que son rotationnel soit nul:
\(\displaystyle{\overrightarrow{Rot}\;\overrightarrow F=\overrightarrow0\Leftrightarrow\overrightarrow F}\) est un champ conservatif
Remarque:
En mécanique, la plupart des forces étudiées sont conservatives et dérivent donc d'un potentiel indépendant du temps. Cependant, certaines forces ne sont pas conservatives :
les forces de frottement
la force de Lorentz qu'exerce un champ magnétique sur une charge électrique \(q\), animée d'une vitesse \(\displaystyle{\overrightarrow v}\) s'écrit \(\displaystyle{\overrightarrow F=q\overrightarrow v\wedge\overrightarrow B}\). On peut montrer que le rotationnel de cette force n'est pas nul.