Champ de gravitation

Considérons un référentiel galiléen et en \(M\) une masse ponctuelle m soumise à un champ de forces centrales de centre \(O\).

Soit un champ de forces centrales de la forme:

\(\displaystyle{\overrightarrow F=\overrightarrow F\frac{\overrightarrow r}{r}\textrm{ avec }\overrightarrow r=\overrightarrow{OM}}\)

Ce champ peut être attractif ou répulsif selon le signe de \(\displaystyle{\overrightarrow F}\).

Tous les résultats déjà énoncés dans le chapitre \(A\), sur les mouvements à accélération centrale sont valables.

Remarques:

• Aucune hypothèse n'est faite à ce niveau sur la composante radiale de la force hormis que le support de la force passe par \(O\). On montre alors, par le théorème du moment cinétique que ce dernier est un vecteur constant et que la trajectoire est plane. Par conséquent, un système de coordonnées adéquat sera le système polaire cylindrique (\(\rho, \theta, z\)).

• Dans ce chapitre, l'angle polaire est noté \(\theta\) ; on utilise souvent en coordonnées cylindriques, les triplets \(( \rho, \theta, z) \textrm{ ou }( \rho, \phi, z)\).

Le moment cinétique a pour expression dans ce repère \(\displaystyle{\overrightarrow{\sigma_0}=\rho^2\theta'\overrightarrow k}\); il est de norme constante et la trajectoire est décrite suivant la loi des aires. On retrouve dans le cas des systèmes planétaires, la seconde loi de KEPLER.

L'animation ci-dessous montre que l'aire balayée par le rayon vecteur au cours de la rotation autour du foyer est constante.

Dans ce qui suit, l'expression du champ central est \(\displaystyle{\overrightarrow F=-\frac{K}{\rho^2}\overrightarrow u_{\rho}}\)

• Si \(K > 0\), l'interaction est attractive ( gravitationnelle ou entre charges de signes contraires).

• Si \(K < 0\), l'interaction est répulsive ( charges de même signe).

En utilisant la formule de Binet relative aux accélérations , le principe fondamental de la dynamique s'écrit dans [\(R\)] galiléen:

\(\displaystyle{\vert\vert\overrightarrow F\vert\vert=-\frac{K}{\rho^2}=m\gamma=-\frac{C^2}{\rho^2}[\frac{1}{\rho}+\frac{d^2}{d\theta^2}(\frac{1}{\rho})]}\)

C'est une équation différentielle du second ordre à coefficients constants avec second membre. On sait que sa solution est constituée de la solution générale de l'équation sans second membre à laquelle on ajoute une solution particulière de l'équation avec second membre; la solution générale de l'équation sans second membre est de la forme:

\(\displaystyle{\frac{1}{\rho}=A\cos(\theta+\theta_0)}\) où \(A\) et \(\theta_0\) sont des constantes d'intégration.

Une solution particulière de l'équation avec second membre est: \(\displaystyle{\frac{1}{\rho}=\frac{K}{mC^2}}\)

La solution de l'équation s'écrit donc, avec des conditions initiales telles que \(\theta_0 = 0\):

\(\displaystyle{\frac{1}{\rho}=\frac{K}{mC^2}+A\cos\theta}\)

Or, on a vu en cinématique que la constante des aires \(C\) est donnée par \(\displaystyle{C=\frac{\sigma_0}{m}}\)

En posant: \(\displaystyle{p=\frac{mC^2}{K}=\frac{\sigma_0^2}{mK}\textrm{ et }e=\frac{mAC^2}{K}=\frac{A\sigma_0^2}{mK}}\)

L'équation devient:

\(\displaystyle{\frac{1}{p}=\frac{1}{p}+\frac{\textrm e}{p}}\) ou encore

\(\displaystyle{\rho=\frac{p}{1+\textrm e\cos\theta}}\)

C'est l'équation polaire d'une conique de paramètre\( p\) et d'excentricité \(\textrm e\).

Suivant les valeurs de l'excentricité, la trajectoire est une hyperbole, une parabole, une ellipse, un cercle dont l'origine est un foyer (ou le centre du cercle); \(\textrm e\) et \(p\) dépendant des conditions initiales.

L'animation ci-dessous montre les différentes trajectoires d'un point soumis à l'interaction gravitationnelle pour des vitesses initiales différentes, donc pour des énergies cinétiques différentes.

L'excentricité e de la trajectoire est liée à l'énergie totale de la particule.

L'énergie cinétique se détermine en utilisant la formule de Binet de la vitesse ; l'énergie potentielle est celle calculée dans le champ de gravitation.

La formule de Binet de la vitesse est \(\displaystyle{v^2=C^2\{(\frac{1}{\rho})^2+[\frac{\textrm d}{\textrm{d}\theta}(\frac{1}{\rho})^2]\}\textrm{ où }C=\frac{\sigma_0}{m}}\)

L'énergie cinétique de la particule s'écrit:\(\displaystyle{\mathcal{T}=\frac{1}{2}\frac{\sigma_0^2}{m}\{(\frac{1}{p})^2+[\frac{\textrm d}{\textrm d\theta}(\frac{1}{\rho})^2]\}}\)

L'énergie potentielle en prenant l'origine des énergies potentielles à l'infini: \(\displaystyle{U=-\frac{K}{\rho}}\)

En prenant pour \(\rho\) son expression déduite de l'équation de la trajectoire, l'énergie \(E = \mathcal{T}+ U\) pourra s'écrire :

\(\displaystyle{E=\frac{1}{2}\frac{\sigma_0^2}{m}[\frac{1+\textrm e^2\cos^2\theta+2\textrm e\cos\theta}{p^2}+\frac{\textrm e^2\sin^2\theta}{p^2}]-K_p\frac{1+\textrm e\cos\theta}{p^2}}\)

Comme \(\displaystyle{K_p=\frac{\rho_0^2}{m}}\), il vient\( \displaystyle{E=\frac{1}{2}\frac{\sigma_0^2}{mp^2}(\textrm e^2-1)}\):

On vérifie que l'énergie est une constante du mouvement; si nous appelons \(E_0\) la valeur initiale de cette énergie, l'équation précédente donne:

\(\displaystyle{\textrm e^2-1=\frac{2\sigma_0^2E_0}{mK^2}=\frac{2mC^2E_0}{K^2}}\)

Sous cette forme, on voit que l'excentricité dépend de l'énergie initiale, de la constante des aires, de l'expression du champ étudié.

La trajectoire est:

- une hyperbole si\( e > 1, E_0 > 0\)

- une parabole si \(e = 1, E_0 = 0\)

- une ellipse si \(e < 1, E_0 < 0\)

- un cercle si \(\textrm e = 0, E_0 < 0\)

Dans les problèmes de type gravitationnel (planètes, satellites), \(K\) est positif (constante de gravitation, interaction attractive), l'énergie potentielle est négative; e peut être quelconque selon les conditions initiales et les trois cas sont possibles.

Dans le cas de l'interaction gravitationnelle, l'ellipse correspond aux mouvements planétaires. Nous retrouvons la première loi de KEPLER:

Première Loi de KEPLER

Chaque planète décrit autour du Soleil une ellipse dont celui-ci occupe l'un des foyers

Lorsque l'énergie cinétique de la masse d'épreuve est inférieure à son énergie potentielle dans le champ de la source, les caractéristiques du mouvement sont: \(\displaystyle{\frac{1}{2}mv_0^2}<\frac{K}{\rho_0}\) ce qui donne la valeur de la vitesse initiale conduisant à des trajectoires fermées (liées)

\(\displaystyle{v_0<\sqrt{\frac{2K}{m\rho_0}}}\)

Pour ces trajectoires, les valeurs des axes en fonction des paramètres des coniques sont données ; on peut ainsi exprimer l'énergie du système en fonction de sa forme :

A partir des relations précédentes

\(\displaystyle{\textrm e^2-1=\frac{2\sigma_0^2E_0}{mK^2}\textrm{ et }p=\frac{\sigma_0^2}{mK}}\)

on transforme\( \displaystyle{\textrm e^2-1=\frac{2E_0p}{K}}\) ; en comparant à: \(\displaystyle{a=\frac{p}{1-\textrm e^2}}\), on obtient:

\(\displaystyle{E_0=-\frac{K}{2a}}\)

La vitesse aréolaire est constante; le temps mis par le mobile pour décrire le périmètre de l'ellipse est appelé période du mouvement notée \(T\).

La vitesse aréolaire est donnée par: \(\displaystyle{\frac{\textrm{dS}}{\textrm{dt}}=\frac{1}{2}\rho^2\theta'=\frac{\sigma_0}{2m}}\)

La surface de l'ellipse est \(S = \pi a b\); le temps mis par le rayon vecteur pour balayer cette surface est \(T\). La vitesse aréolaire étant constante, elle peut donc s'écrire:

\(\displaystyle{\frac{\textrm{dS}}{\textrm{dt}}=\frac{\pi ab}{T}}\)

Par suite:

\(\displaystyle{T=2\pi\frac{mab}{\sigma_0}}\)

En donnant à \(b\) la valeur \(b=a\sqrt{1-\textrm e^2}\),

et comme \(\displaystyle{p=\frac{\sigma_0^2}{Km}}\), il vient:

\(\displaystyle{\frac{T^2}{a^3}=\frac{4\pi^2m}{K}=cte}\)

Cette expression constitue la troisième loi de Képler.

Troisième loi de KEPLER

Le rapport du carré de la période de révolution elliptique est proportionnel au cube du demi-grand-axe. La constante de proportionalité est la même pour toutes les planètes