Vergence

Partie

Question

On réalise, à l'aide de dioptres sphériques dont le module du rayon de courbure est \(|R|\), des lentilles minces possédant un centre de symétrie \(S\).

Quel devraient être les indices de réfraction \(N\) du M.H.T.I. constitutif de ces lentilles pour que, dans l'air, les foyers de ces lentilles soient situés :

  1. à une distance \(R\) de \(S\) ?

  2. à une distance \(2R\) de \(S\) ?

Exprimer le module de la vergence

Aide simple

On appelle distance focale image \(f'\) d'une lentille mince, la grandeur algébrique \(f'=\overline{SF'}\) qui sépare son centre géométrique \(S\) du foyer image \(F'\).

Le module de la vergence \(|V|=|n/f'|\) d'une lentille mince en verre d'indice \(N\), immergée dans un milieu d'indice \(n = 1\) a un module : \(|V|=\left|\frac1{f'}\right|=(N-1)\cdot\left|\left(\frac1{R_1}-\frac1{R_2}\right)\right|=(N-1)\cdot\left(\frac2{|R|}\right)\)

Pensez à figurer les données de l'énoncé.

Rappel de cours

  • Tout rayon passant par le centre optique d'une lentille mince n'est pas dévié.

  • Tout rayon incident parallèle à l'axe principal émerge de la lentille en passant par le foyer principal image.

  • Tout rayon incident passant par le foyer objet émerge de la lentille parallèlement à l'axe principal.

  • Pour une lentille sphérique mince, il existe deux plans focaux symétriques par rapport à la lentille: le plan focal objet et le plan focal image. Ces plans comme les foyers qui les forment sont réels pour une lentille convergente et virtuels pour une lentille divergente.

  • Une lentille mince est optiquement définie par sa distance focale.

  • Les relations de conjugaison :

    • origine au centre

      \(-\frac1{\overline{OA}}+\frac1{\overline{OA'}}=\frac1{f'}\)

      \(\gamma=\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}=\frac{p'}p\)

    • origine aux foyers

      \(\overline{FA}=x\) et \(\overline{F'A'}=x'\)

      \(x\cdot x'=-f'^2\)

      \(\gamma=\frac{f'}x=-\frac{x'}{f'}\)

Solution détaillée

Le module de la vergence \(|V|=|n/f'|\) d'une lentille mince en verre d'indice \(N\), immergée dans un milieu d'indice \(n = 1\) a un module :

\(|V|=\left|\frac1{f'}\right|=(N-1)\cdot\left|\left(\frac1{R_1}-\frac1{R_2}\right)\right|=(N-1)\cdot\left(\frac2{|R|}\right)\)

soit \(|\overline{SF'}|=|f'|=\frac{|R|}{2.(N-1)}\) ou \((N-1)=\frac{|R|}{2\cdot|f'|}\)

\(N=1+\frac{1}2\cdot\left|\frac R{f'}\right|\)

Pour \(|R|=|\overline{SF'}|=|f'|N=1,5\)

Pour \(|R|=\frac{1}2\cdot|\overline{SF'}|=\frac{|f'|}2N=1,25\)